不定积分的典型例题(2)

不定积分的典型例题

1x2 1 lim , x 0

22x22由拼接法可有

2

x 1

dx x4 1

1x2 1 22x22

1x2 1 22x22

c,x 0

x 0. c

x 0

x3 2

例2.求 . 22

(x 1)(x 1)解 将被积函数化为简单的部分分式

x3 2ABCx D

(*) 2222

(x 1)(x 1)x 1(x 1)x 1两边同乘以(x 1)2，约去x 1的因子后令x 1得

( 1)3 21B .

( 1)2 12

两边同乘以(x 1)2，对x求导，再令x 1，施以上运算后，右端得A,而左端为

dx3 2lim[(x 1)2

22x 1dx(x 1)(x 1)

dx3 23x2(x2 1) 2x(x3 2)

lim[2] lim22x 1dxx 1x 1(x 1)

6 2 2. A 2.

4在分解式（*）中令x 0,得2 A B D,所以

1

D .分解式（*）两边同乘以x，再令x ,得

2

1 A C, C 1.故有

x3 2ABCx D

dx [ (x 1)2(x2 1) x 1(x 1)2x2 1]dx

111

2lnx 1 arctanx c.2

2(x 1)2ln(x 1)2