不定积分的典型例题(7)

不定积分的典型例题

解 用分部积分法有

xf (x)dx xdf(x) xf(x) f(x)dx

f(x)dx

(*)

sinx

c1 f(x) [ f(x)dx] x

sinxxcosx sinx [ c1] .

xx2

代入（*）有

sinxsinx

c1， xx2sinx

c. 即 xf (x)dx cosx x

12sinx cosx

dx. 例18．求

5sinx 2cosx

xf (x)dx cosx

解 [5sinx 2cosx] 5cosx 2sinx.被积函数的

分子是cosx,sinx的线性组合，故有

12sinx cosx A(5sinx 2cosx) B(5sinx 2cosx)

(5A 2B)sinx (5B 2A)cosx, A 2,B 1.

于是

12sinx cosx2(5sinx 2cosx) (5sinx 2cosx)

dx 5sinx 2cosx 5sinx 2cosx

2x ln5sinx 2cosx c.

sinxdx

2

3 sinxsinxdxd(cosx)cosx tdt

解 222 3 sinx3 1 cosxt 411112 cosx [ ]dt ln c.4t 2t 242 cosxdxdx

例20．

1 2cos2x (1 2)cos2x

cos2x

例19．求

d(tanx)d(tanx)dt

3 tan2x 3 t2 22

cosx

1t1tanx c c.

333例21．