高中数学新课程中的极限及其教学(2)

入研究圆形的过程中,萌芽了“无限细分,无限求和”的微积分思想;我国西汉刘歆在《西京杂记》中提到的“记里车”,东汉张衡制造的“浑天仪”,蜀汉诸葛亮使用的“木牛流马”,魏晋刘徽的“割圆术”,也都用到了极限的思想.随着现代学科的成熟,微积分经历了长足的演变和发展.极限作为微积分最重要的概念,于20世纪初被引入中学数学.这次,《标准》中也设置了极限的内容,主要基于以下几方面的认识.

1.1　极限具有深刻的哲学意义

有着密切的联系:广义积分、级数和等概念都是用不同形式的极限方法得到的;从直线、平面、三维空间到一般欧式空间,乃至各类抽象空间的收敛性,都借助了极限;二重积分、三重积分、第一型曲线、曲面积分,它们的思想方法(分割、求和、取极限)都是一样的,都可看作求不均匀物体的质量;、可求面、,.

13极限的概念来源于客观实际,世界的一种共有现象.正如列宁在《括的一样,“,的思维到实践,、证途径..17,许多实际:物体在任意时刻的速度与加速度;光学研究中涉及的曲线问题;抛物体获得最大射程时的发射角;行星引力问题等.数学家在掌握丰富的感性材料基础上,经历反复推敲与实践检验,发展了极限理论.因此,极限的思想揭示了马克思主义认识论关于认识的辩证过程.

人类通过抽象、概括认识自然界的本质.正是通过这种抽象,“从有限中找到无限,从暂时中找到永

(恩格斯语).从极限思想中,我们可以从有限认恒”

,使借,即把所考察的对象(如圆的面积、变速运动物体的瞬时速度、曲边梯形的面积等)看做某对象(内接正n边形的面积、匀速运动物体的速度、矩形面积的和)在无限变化过程中变化结果的思想.在这种思想指导下,得到了运用极限去刻画切线斜率、变速运动的瞬时速度和加速度等概念的方法.因此,极限内容有着丰富的物理背景:比如,建筑学中房梁在外加负荷下的弹性问题,工业生产中机械模型的制造,物体重心以及物体之间的引力问题等.随着极限思想向现代化学科扩张和渗透,极大程度上促进了跨学科和边缘学科的产生、发展、深化,也使得极限在现实生活中的运用日益广泛.如:化学不定量问题(配置硝酸等),用常规方法很难解决,但是采用极限思想便可迎刃而解.类似这样的例子不胜枚举,这些现实问题,为极限内容提供了丰富的背景.

2　极限的教育价值

2.1　有助于培养学生的辩证思维

识无限,从近似认识精确,从已知认识未知等.比如在求曲面梯形面积时,首先要化“曲”为“直”.因此,将积分区间细分,使每个细小的区间化曲为直,从而由已知求未知,计算出梯形的近似值,但近似不是精确,通过无限分割,使近似值逐渐趋向精确.当分割的程度越加细化,由量变引发质变,我们得到了关于梯形面积的精确值.不难看出,极限思想本质上讲是一种辩证思维.

1.2　极限包含重要的数学思想方法

极限内容中蕴涵着大量的辩证思想.应根据学生的实际水平和能力,适度地从哲学的角度剖析变与不变、量变与质变、近似与精确等对立统一规律,能有效地训练学生数学思维,提高综合素质.例如,函数极限概念:设f在点x0的某个空心邻域U0(x0,ζ,总1)内有定义,A是一个定数.若对任给的正数ε存在某个正数ζ(ζ<ζ1),使得当0<|x-x0|<ζ时,都有|f(x)-A|<ε,则称当x趋向于x0时f极限存在,且以A为极限.分析上述概念:(1)x0是某固定的常量,是不变的,但是它具有任意性,是变化的.这种变化性说明了极限具有广泛性和抽象性;(2)ε是任意给出的,但确定ε后变为固定的;(3)当极限存在时,ζ必定满足上述条件,这是不变的.但这样的ζ却有无穷多个,这又是变的;(4)x0是有限的实数,

高等数学中许多深层次的理论及其运用都是极限的延拓和深化.可以说,离开了极限思想,高等数学就失去了基础.极限思想贯穿了微积分的全部内容:微分和积分都是由各种不同形式、不同方式的极限过程得到的,所以微积分最核心的就是极限思想.随着伯努力、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、柯西等数学大家的完善,在微积分的基础上又产生了一些新的数学分支,如微分方程、无穷级数、微分几何、函数论、积分方程、变分法、泛函分析等.这些分支与极限