高中数学新课程中的极限及其教学(3)

所蕴涵的现实生活背景,可以极大地丰富学生的数学生活,培养学生数学化思考的习惯,体会数学与现实生活的密切联系,更好地认识人类的生活空间.

3　极限教学应注意的问题

但x→x0是无限变化的过程;(5)A是有限的实数,但

f(x)→A却是无限运动的过程.极限内容中还有很

多知识涉及到较深刻的辩证思想,这使得极限的学习成为高中数学新课程的一个重点和难点.但这个难点恰好是训练学生辩证思维的良好素材,提高学生综合素质的最佳环节.

2.2　有助于增进学生对数学本质的了解

基于高中数学新课程对极限的定位以及对极限教育价值的分析,:

3.1数学中许多概念,可以从过程和对象两个侧面来理解.所谓过程,就是具备了可操作性的法则、公式、原理等.而对象则是数学中定义的结构关系.限既代表函数变化趋势的过程,结果.因此,极限既操作别的对象(、函数.所以,,学系统、刻画数学对象的重要性.

此外,借助于极限思想,数学中许多概念定义得以完备.如有理指数幂y=xa(x∈R+,a∈Q).当a为无理数时,可以看成某一有理数列{an}(an∈Q,n∈N)的极限,即a=liman,这样xan均有意义,则xa

n→+∞

an

.,其本质的问题就是对无,区分了两种无限:一种是潜无限,即把无限看成是永远在延续的过程.比如不断延伸的自然数列1,2,…,n,…;另一种称为真无限,即把无限对象看成是可以自我完成的过程.比如坐标轴上一个动点P以单位速度从坐标1处向原点

O移动,通过了数集{1,

,,…,,…}中的一切23n

点,又因为

n

和自然数集一一对应,所以无限的自

然数集是可以完成的过程.然而,很多学生由于受日常语言的影响,认为无限就是潜无限,把取极限看成是一个永远也无法完成的过程.因此,极限函数定义中f(x)无限接近A对学生而言便是只能非常接近但不能达到.然而存在某些情况极限值是可以达到的,典型的事例是比较1和0.9的大小.对于这类问题,即便利用极限证实了0.9=1,但学生仍然认为0.9

=limx,从而把无理指数幂纳入到幂函数的内容

n→+∞

中.不难看出,中学极限的学习有利于学生系统全面地了解数学内部结构,整体把握其性质.

2.3　有助于学生体会数学与现实及其它学科的联

系

极限具有丰富的现实背景,是刻画物体运动变化的重要数学工具.在诸如人造卫星、自动控制、各类电子装置的设置、导弹计算等方面有广泛的运用.极限也在刻画物理量———速度、加速度等方面起到不可忽视的作用,它体现了数学与物体的天然联系.

例如,变速运动中求物体在某一时刻a的瞬间速度.自变量时间t与函数d=

f(t)的图像如图所示,则在

总是会比1小,并且无法达到1.产生这种观点的原因是因为学生把函数f(x)=1-n看成始终处于10

不停地运动中,不断靠近1,因此无法等于1.f(x)不停地运动而无法达到实际上是否定了真无限的结果.由此,对极限正确的理解依赖于学生对真无限的认可.可以说,真无限应该是学习极限概念最重要的认知障碍.许多教师为了帮助学生,将无限接近解释为“要多接近有多接近”,但这样的解释对学生来说还是接近不能达到.事实上,较好的解释应该是0.9和1之间其实什么也不差.因为假如它们相差

10

-100000

时间段[a,t]的平均速度为

割线PQ的斜率.当Q逐渐接近P,点P的斜率为:

lim,即为物体在时刻a的瞬时速度.事t→at-a

,只要9循环到100001便可以了.因此教师可

实上,速度、加速度这些物理量贯穿物理学的许多分支,都是数学中极限的现实原型.充分挖掘极限背后

以反问学生“如果非常接近但不相等,那究竟差多少?”可以较好地避免学生单一理解潜无限而拒绝真无限,从而领会“由近似到精确”的辩证思想.