判别式与韦达定理-(3)

2． 韦达定理的应用

33

例7 假设x1、x2是方程x-（a+d）x+ad-bc=0的根.证明这时x1是方程,x2

2

y2 (a3 d3 3adc 3bcd)y (ad bc)3 0的根.

证明 由已知条件得

x1 x2 a d,x1 x2 ad bc.

33

∴x1 x2 (x1 x2)3 3x1x2(x1 x2)

=a+d+3abc+3bcd，

33x1 x2 (x1 x2)3 (ad bc)3. 33由韦达定理逆定理可知，x1、x2是方程

33

y2 (a3 d3 3abc 3bcd)y (ad bc)3 0的根.

例8已知两个系数都是正数的方程

2

a1x+b1x+c1=0， ① 2

a2x+b2x+c2=0， ② 都有两个实数根，求证：

（1） 这两个实数根都是负值；

2

（2） 方程 a1a2x+b1b2x+c1c2=0 ③ ③也有两个负根.

证明 ∵方程①有两个实数根，∴b1 4a1c1＞0. ④

同理b2 4a2c2＞0. ⑤ 又a1、b1、c1都是正数，∴

2

2

c1b

＞0， 1＜0. a1a1

由此可知方程①的两根是负值.同样可证方程②的两根也是负值. 显然a1c1＜4a1c1代入④，得b1 a1c1＞0， ⑥ 由b2 4a2c2＞0，得b2＞4a2c2, ⑦ ∴△ (b1b2) 4(a1a2)(c1c2) =b1 b2 a1c1(4a2c2) ≥b1(4a2c2) a1c1(4a2c2) =4a2c2(b1 a1c1)＞0，

2

22

2

2

2

2

2