判别式与韦达定理-(4)

∴方程③也有两个实数根. 又a1a2＞0，b1b2＞0，c1c2＞0， ∴

c1c2bb

＞0， 12＜0. a1a2a1a2

由此可知方程③的两个根也是负值.

22

例9 对自然数n，作x的二次方程x+（2n+1）x+n=0，使它的根为αn和βn.求下式的值：

1111

+ .

( 3 1)( 3 1)( 4 1)( 4 1)( 5 1)( 5 1)( 20 1)( 20 1)

解 由韦达定理得

n n (2n 1), n n n2,

( n 1)( n 1) n n (an n) 1

=n2 [ (2n 1)] 1 n(n 2). 而

11

( n 1)( n 1)n(n 2)1 11

， （n≥3）

2 n 2n

=

∴原式=

1 11 11 2 13 24

+

1 11 1

35 1820

1 111 531

. 1

2 21920 760

=

例10首项不相等的两个二次方程

222

（a-1）x-（a+2）x+（a+2a）=0 ①

222

及（b-1）x-（b+2）x+（b+2b）=0 ②

ab ba

（其中a，b为正整数）有一公共根，求 b的值.

a b a

解 由题得知，a，b为大于1的整数，且a≠b.设x0是方程①②的公共根，则x0≠1，否则将x=1代入①得a=1，矛盾.得x0代入原方程，并经变形得

22

(x0 1)a2 (x0 2)a (x0 2x0) 0 ③

及(x0 1)b (x0 2)b (x0 2x0) 0 ④

222