2018全国Ⅰ卷文科数学高考真题(8)

11(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.4850

x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为

21(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.3550

x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 估计使用节水龙头后，一年可节省水3(0.480.35)36547.45(m )-⨯=．

20．解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．

所以直线BM 的方程为y =112x +或112

y x =--． （2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．

当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0．

由2(2)2y k x y x

=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4． 直线BM ，BN 的斜率之和为

1221121212122()22(2)(2)

BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222y x k

=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k ++-++++=

==． 所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM =∠ABN ．

综上，∠ABM =∠ABN ．

21．解：（1）f （x ）的定义域为(0)+∞，，f ′（x ）=a e x –1x

． 由题设知，f ′（2）=0，所以a =

212e ． 从而f （x ）=21e ln 12e x x --，f ′（x ）=211e 2e x x

-． 当0<x <2时，f ′（x ）<0；当x >2时，f ′（x ）>0．

所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．

（2）当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1e

x

x --． 设g （x ）=e ln 1e x x --，则e 1()e x g x x

'=-． 当0<x <1时，g ′（x ）<0；当x >1时，g ′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点． 故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0．