三维Navier-Stokes方程的正则性准则

考察三维不可压Navier-Stokes方程的弱解正则性问题.基于Holder不等式和速度场的不可压缩性质,通过对速度向量的部分分量及相关导数的估计,得到了一个新的关于Leray-Hopf弱解的正则性准则的结果.在速度向量的部分分量及相关导数满足适当的条件下,三维不可压Navier-Stokes方程的弱解是整体正则的.

第2卷第1 7期21 0 2年 3月

湖南科技大学学报(自然科学版 )Ju lf ua n esyo S i c o ma o H n nU i rt f c ne&T cn l y N t a S i c d i ) v i e e ho g ( au l c neE i n o r e t o

V 1 7N . o 2 o1 .Ma. 2 1 r 02

三维 N ve—Soe方程的正则性准则 ai r tks罗兰张辉 ,(. 1广州大学数学与信息科学学院，数学与交叉科学广东普通高校重点实验室，广东广州 500; 1 6 0 2湘潭大学数学与信息科学学院， .湖南湘潭 4 1 1) 12 0

摘

要：考察三维不可压 N v r tks ai—Soe方程的弱解正则性问题 .基于 H le不等式和速度场的不可压缩性质， e o r d通过对速

度向量的部分分量及相关导数的估计，到了一个新的关于 Lry—H p弱解的正则性准则的结果.得 ea of在速度向量的部分分量及相关导数满足适当的条件下，三维不可压 N v r Soe方程的弱解是整体正则的. ai— tks e关键词： ai—S ks方程；ea—H p N ve t e r o L ry of弱解；正则性准则中图分类号： 15 2 O 7 .5文献标识码： A文章编号：6 2 12 2 1 ) 1 0 2 0 17—90 (0 2 O - 16- 3

1主要结果 讨论如下的 N v r S ks ai— t e方程： e o_

若“是方程( ) 3的 Lr— of 1一( ) e y H p弱解， a且满足：u∈ (,; ( ) .+z 0 T ) 2口

≤ 1 3<q≤∞.4 ; ()

0 u E

.

+( X) u T u+ =

=A i u n

×(, . ( ) 0 ) 1 () 2

(

则弱解在存在区间 (,上是光滑解. 0 )后来，e a aV i…提供了一个关于速度梯 Bi od eg r a度的正则性准则： u∈ (, ( )z 0 );O t

0 i R n X( ) 0, .

u xO (,)= u i R 0 n×{ t=0 .}

() 3

这里=(。/,,和P ,/)//,,分别表示未知的速度场和压力，/表示给定的初始速度 .程 ( )~( )/,。方 1 3

+

三q

≤号 q∞ 5 2≤.(;< Z )

已经被进行了广泛的研究，中最著代表性的开创其性

成果来自于 Lr 和 H p[他们对任意给定 e y2 aE of,的 M (。E R )构建了方程的整体弱解，通常称为Lry of解.自此之后，于弱解的正则性就 ea—H p弱关一

对于方程 ( ) 3,/ 1一( )若/,是其中的一个解当且仅当“( t ,)=A A At是方程的解 .得注意的 (, )也值

是，条件( ) 5都暗含了空间尺度不变性， 4 ()即：l1l,Tq ) l,I (^;( ￡o2L ) 1 I l (Tq ) ,L舻 I 1 O;( )对任意的 A>0成立，当且仅当 O,满足条件 ( ) lg 4.

直是悬而未决的难题.果对弱解附加一定的条 如

件，可以使得弱解成为光滑解.这方面的第一个成果来自于 Snn4. er的正则性准则可以描述 e'【 Srn i] i如下：

同样的：I I I, ( ) I (^舻)￡0 『 I l ( ( ) , l o )

对任意的 A>0成立，当且仅当 O g/满足条件( ), 5.

收稿日期：0 l 1 8 2 1—l一l

基金项目：国家自然科学基金项目资助 ( 120 1 11 62 )通信作者：罗兰( 9 2,, 1一)女湖南湘潭人，士， 6硕讲师，主要从事应用数学的教学与研究. m i l l .8 9 13 cm E— a: o n0 0@ 6 .o lu a 16 2