导数应用论文(14)

导数是新教材的一个亮点,它是连接初等数学与高等数学的桥梁,用它可以解决许多数学问题,它是近年高考的的热点。它不仅帮助即将进入大学的高三学生奠定进一步学习的基础,而且在解决有关问题已经成为必用工具。由于导数的广泛应用,现已成为高考的热点知识本文拟对导数知识的全面归纳,然后通过一些实例全面介绍导数在实际数学中的应用,让人们全面了解导数这一工具的利用

2] , x 2为曲线的水平渐进线 2x 0x

4(x 1)

2] , x 0为曲线的铅垂渐进线 lim[2x 0x

又 lim[

曲线经过(1，(1，( 1,2)，

2

(1,6)，(2,1)，(3, )这几个点

9

通过上面的讨论可大致绘出图形（如图9）

1．5利用导数求参数问题

利用导数求函数中参数的范围，它是利用导数求函数单调性、极值、最值的延伸。

2

例12、（05湖北理）已知向量a (x,x 1)，b (1 x,t)，若f(x) a b在区间(-1,1)上是增函数，求t的取值范围.

解：由向量的数量积定义，f(x) a b x2(1 x) t(x 1) x3 x2 tx t

f'(x) 3x2 2x t，又f(x) a b在区间(-1,1)上是增函数，则f'(x) 0

t 3x2 2x在 (-1,1)上恒成立.

令g(x) 3x2 2x在区间[-1,1]上，则g(x)max g( 1) 5， 故在区间(-1,1)上使t g(x)恒成立，

只需t g( 1)即可，即t 5. 即t的取值范围是[5, ).

导数是新教材的一个亮点,它是连接初等数学与高等数学的桥梁,用它可以解决许多数学问题,它是近年高考的的热点。它不仅帮助即将进入大学的高三学生奠定进一步学习的基础,而且在解决有关问题已经成为必用工具。由于导数的广泛应用,现已成为高考的热点知识本文拟对导数知识的全面归纳,然后通过一些实例全面介绍导数在实际数学中的应用,让人们全面了解导数这一工具的利用

2．导数在曲线中的应用

曲线y f(x)在点x0处的导数f'(x0)在几何上表示为：曲线y f(x)在点A(x0,y0)处切线的斜率。即f'(x0) tan 。

利用导数这一几何意义可以帮助我们解决解析几何中有关曲线的一些问题 例13、（2003全国高考题）已知抛物线c1:y x2 2x和抛物线c2:y x2 a，当a取何值时，c1和c2有且仅有一条公切线？写出公切线的方程。

解：函数y x2 2x的导数y' 2x 2，曲线c1在点p(x1,x12 2x1)的切线方程是y (x12 2x1) (2x1 2)(x x1)，即y (2x1 2)x x12 （1）

2

函数y x2 a的导数y' 2x，曲线c2在点Q(x2, x2 a)的切线方程是2y ( x) 2xx，即)y 2x2x x12 a （2） 2 a2(x 2

若直线l是过P和Q的公切线，则（1）式和（2）式都是l的方程

2

y (2x1 2)x x1

所以 2

y 2x2x x1 a

消去x2得方程2x12 2x1 a 1 0，由于公切线仅有一条，所以当

4 8(1 a

111

) ，即0a 时解得x1 ，此时公切线方程为y x 。

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例14、已知P是抛物线y2 4x上的动点，求过P到直线x y 5 0的最小距离。

解：（如图10）由y2

4x得y

易知y 上的点到直线x y 5 0的距离最小。

由y

得y' ，

于是曲线y 上过点p(x,y)且与直线

x y 5

0平行的斜率为k y' 1，得x 1，则y 2，