函数解析式的表示形式及五种确定方式(2)

系数。

例3、已知二次函数y f(x)满足f(x 2) f( x 2),且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为22，求函数y f(x)的解析式。

分析：二次函数的解析式有三种形式：

① 一般式：f(x) ax2 bx c

② 顶点式：f(x) a(x h)2 k(a 0) 其中a 0,点 h,k 为函数的顶点

其中a 0,x1与x2是方程f(x) 0的两根 ③ 双根式：f(x) a(x x1)(x x2)

解法1：设f(x) ax2 bx c(a 0)，则

由y轴上的截距为1知：f(0) 1，即c=1 ①

∴ f(x) ax2 bx 1

由f(x 2) f( x 2)知：a(x 2)2 b(x 2) 1 a( x 2)2 b( x 2) 1 整理得：(4a b)x 0, 即： 4a b 0 ②

由被x轴截得的线段长为22知，|x1 x2| 22，

22即(x1 x2) (x1 x2) 4x1x2 8. 得:( ) 4b

a21 8. a

整理得： b 4a 8a ③

由②③得： a 2211,b 2, ∴ f(x) x2 2x 1. 22

解法2：由f(x 2) f( x 2)知：二次函数对称轴为x 2，所以设f(x) a(x 2)2 k(a 0)；以下从略。

解法3：由f(x 2) f( x 2)知：二次函数对称轴为x 2；由被x轴截得的线段长为22知，|x1 x2| 22；

易知函数与x轴的两交点为 2 2,0, 2 2,0，所以设

f(x) a(x 2 2)(x 2 2)

2、换元法 (a 0)，以下从略。