DGH方程Cauchy问题解的解析性

De e .2 01 4

CHI N ESE JoU RN A L oF EN G I N EERI N G M ATH EM TI CS

Vb 1 . 3 1 No . 6

d o i: 1 0 . 3 9 6 9/ j . i s s n . 1 0 0 5— 3 0 8 5 . 2 0 1 4 . 0 6 . 0 1 5

Ar t i c l e I D: 1 0 0 5 - 3 0 8 5 ( 2 0 1 4 ) 0 6 - 0 9 4 3 - 0 6

A na l yt i c Sol ut i ons of t he C auc hy Pr obl e m f o r

t he D G H Equat i on术ZHAO Ca i— xi a ,一 . FU Yi n g1

( 1一 S c h o o l o f Ma t h e ma t i c s, No r t h w e s t Un i v e r s i t y, Xi’ a n 7 1 0 1 2 7; 2一 E x p e r i me n t a l Mi d d l e S c h o o l o f Xi n z h o u o f S h a n x i P r o v i n c e, Xi n z h o u, S h a n x i 0 3 4 0 0 0 )A bs t r ac t:Ca u c h y pr o b l e m i s a k i nd o f i mpo r t a nt p r o bl e ms i n t h e s t u dy o f pa r t i a l di fe r e n t i a le q ua t i o n s . To a g r e a t d e g r e e,t he pr o pe r t i e s o f s o l u t i o n s d e pe nd o n p r o pe r t i e s o f

i ni t i a l v a l ue s .Co ns i de r e d he r e i n i s t h e p r o pe r t y o f s o l u t i o n s o f Ca u c h y pr o bl e m f o r t he Dul l i n— Go t t wa l d— Ho l m e q ua t i o n whe n t he i n i t i a l v a l ue s a r e a n a l y t i c .Ba s e d o na c o n t r a c t i o n t yp e a r g u me n t i n a s ui t a bl e s c a l e o f Ba na c h s pa c e s . we s h

o w t ha t t h e s o l u t i o ns of t hi s pr o b l e m a r e a n a l y t i c i n bo t h v a r i a bl e s, g l o ba l l y i n s p a c e a n d l o c a l l yi n t i me .

Ke yw or ds: D G H e q ua t i o n;c on t r a c t i o n a r g u me n t; a na l y t i c i t y

Cl a s s i i f c a t i o n: A MS ( 2 0 0 0 ) 3 5 B3 0; 3 5 G2 5; 3 5 L 0 5D OC E l m e nt c ode:A

CLC n u mb e r:O1 7 5 . 2 9

1 I n t r oduc t i o n

I n t h i s p a pe r, we c o n s i d e r t h e f o l l o wi n g i n i t i a l v a l ue p r o bl e m a s s o c i a t e d wi t h t he

D u l l i n - Go t t w a l d - H o l m( DG H) e q u a t i o n抑… …一

( 1 )

wh e r e t h e c o n s t a n t s o l。a n d

a r e s q u a r e s o f l e n g t h s c a l e s, a nd C 0=

i s t h e l i n e a r

wa v e s pe e d f o r u nd i s t u r be d wa t e r a t r e s t a t i n i f n i t y, h e r e h i s t h e me a n l f u i d d e p t h a n d

g i s t h e g r a v i t a t i o n a l c o n s t a n t, u ( x, t ) s t a n d s or f t h e l f u i d v e l o c i t y .

T h e e q u a t i o n( 1 )mo d e l s u n i d i r e c t i o n a l p r o p a g a t i o n o f s u r f a c e w a v e s o v e r a i f a tbo t t o m[¨.

Wh e n c g=0, ≠0, i t i s t h e Kd V e q u a t i o n .W h i l e f o r =0, =1, t h e

D GH e

q u a t i o n r e du c e s t o t h e Ca ma s s a - Ho l m e q u a t i o n.Re c e n t l y,t h e we l l— po s e d n e s s, s c a t t e r i n g p r o b l e m a n d s o me q u a l i t a t i v e p r o pe r t i e s f o r t h e D GH e q ua t i o n we r e s t u d i e dRe c e i v e d:2 2 F e b 2 0 1 3 .Ac ce pt e d:26 Aug 2 01 3 .

Bi o g r a p h y: z h a o Ca i x i a( B o r n i n 1 9 8 8 ), F e ma l e, Ma s t e r .Re s e a r c h i f e l d:qua l i t a t i v e t he or i e s of PDE .

F o u n d a t i o n i t e m: T h e N a t i o n a l N a t u r a l S c i e n c e F o u n d a t i o n o f C h i n a( 1 1 0 0 1 2 1 9 ); t h e N a t u r a l S c i e n c e F o u n d a t i o n o f S h a a n x i P r o v i n c e( 2 0 1 4 J Q1 0 0 2 ) .

CHI N ES E J O URN AL O F ENG I NEERI NG M ATH EM ATI CS

Vo L,31

i n f 2, 3 1 . Ho w e v e r, t h e r e i s n o p a p e r s t u d y i n g t h e a n a l y t i c s o l u t i o n s o f t h e DG H e q u a t i 0 nb y n O W.

T h e p u r p o s e o f t h i s p a p e r i s t o p r o v e t h e a n a l y t i c i t y o f s o l u t i o n s t o t h e p r o b l e m( 1 )i n bo t h v a r i a b1 e s z a n d .Ou r ma i n a p p r o a c h i s b a s e d o n a c o n t r a c t i o n t y p e a r g u me n ti n a s ui t a b l y c h o s e n

s c a l e o f Ba n a c h s p a c e s J .

Ou r ma i n r e s u l t i s g i v e n a S ol f l o ws .T he 0r e m 1 Le t u 0 b e a r e a l a n a l y t i c f u n c t i o n o n .Th e n t h e r e e x i s t E> 0 a n d

a u n i a u e s o l u t i o n u o f t h e i n i t i a l v a l u e p r o b l e m( 1 ) t h a t i s a n a l y t i c O n(一￡, E )×

2 An a l y t i c s o l u t i o n s t o t h e p r o b l e m( 1 )趴引

At i f r s t, we p r e s e n t s o me u s e f u l r e s u l t s t h a t we wi l l u s e l a t e r

Th e o r e m 2 1 7[L e t

) 0< s< 1 b e a s c a l e o f d e c r e a s i n g B a n a c h s p a c e s, s u c h t h a tS

U

f o r a n y s <s w e h a v e c , w i t h… … , … … . C o n s i d e r t h e C a u c h y p r o b l e m<=

F ( t, u ( t ) ),

R

( 2 )

u ( 0 )=0 .Le t T, R a n d C b e p o s i t i v e n u mb e r s a n d s u p p o s e t h a t F s a t i s i f e s t h e ol f l o wi n g c o n d i—t i o n s:

( i ) I f f o r a n y 0<s < s< 1, t h e f u n c t i o n ta n d c o n t i n u o u s O i l t T wi t h v a l u e s i n x a n d

( ) i s h o l o mo r p h i c o n I t l<

< T wi t h v a l u e s i n X, . t h e n t F( t, u ( t ) ) i s a h o l o mo r p h i c f u n c t i o n o

n t B( 0, R)C X, t h a t i s,… u…< ( i i 1 F o r a n y 0< s< s 1 a n d a n y u,∈

R,…

<R, w e h a v eC

s u p l I I r( t, u )一F( t,￣ ) l l l。,≤ S—t l< _ T

S

( i i i )T h e r e e x i s t s a M>0, s u c h t h a t f o r a n y 0<s<1,

F( t, 0 ) 1 1 1。 s u p…t T l

M.

T h e n t h e r e e x i s t s a T o∈( 0, T )a n d a u n i q u e f u n c t i o n u ( t ), w h i c h i s h o l o mo r p h i c i n I t l<f 1一s ) T 0 w i t h v a l u e s i n f o r e v e r y s∈( 0, 1 ) a n d i s a s o l u t i o n t o t h e i n i t i a l v a l u e p r o b l e m( 2 ) .

NO. 6

Z h a o Ca i x i a, F u Yi n g:An a l y t i c S o l u t i o n s o f t h e Ca u c h y Pr o b l e m f o r t h e DGH Eq u a t i o n

9 45

Ac c o r d i n g t o T h e o r e m 2, w e n e e d t o r e w r i t e t h e i n i t i a l v a l u e p r o b l e m( 1 ) i n t h ef o l l o wi n g n o n— l o c a l f o r m

O￣ u +,

UO x U

-

+( 1一。 ),

( 。+譬 :+ ( c o+吾 )钆 )= 0,

( 3 )

。:

乱。

w h e r e t∈, X E, U O∈C ( )Le t

f ( x )= ,钆 1=, 2=只=一乱， P 2=一( 1一。 )Th u s o u r i n i t i a l v a l u e p r o b l e m t a k e s t he or f m

钆

u =P l (￣ f ( u )一 D L - u )+ P 2 ( .厂 (钆 )+譬 .厂 ( )+ (

c o+ ) )=F 1 (,钆。 ), u 2=P 1 ( U l u 2~- . 7 -。 - u 2 )+P 1 P 2 (, ( u 1 ) +譬， ( )+( c 0+吾 ) u ):F 2 ( u ,札。 )," i t 1 ( , 0 )= ( , 0 ):u o ( x ), u 2 ( x, 0 )=一 U l ( , 0 )=一 U o ( X )Wl e d e i f n e

扎=( 1, 2 ), F( )=F (钆 1, 2 )=( F 1 (乱 1, 2 ), ( 1, 2 ) ) .No w we u s e a c o n t r a c t i o n a r g u me n t t o p r o v e Th e o r e m 1 .F o r t h i s p u r po s e, we wi l l

n e e d a s u i t a b l e s c a l e o f Ba n a c h s p a c e s .F o r a n y 8> 0 . we d e i f n e t h e s pa c e s

E 8={ u C C a ( I训刚 s u p器t h a t a n y i n E8 i s r e a l a n a l y t i c o n .Le t

<∞ )

wh e r e r> 1 i s a n y i f x e d r e a l n um b e r . I t i s o b v i o us t ha t E e q u i pp e d wi t h t h e n or m

No t e … …。 i s a B a n a c h s p a c e, a n d f o r a n y 0 <s <8, E c E s, w i t h…钆… ,<… u… .

(札 , u 2 ) l} l=1} 1￣ 1 ) 1 1。+…札。…。, F( u l, 2 )…=… F 1 (, u￣ ) f l l +… F 2 u i, 2 )… . We w i l l u s e T h e o r e m 2 t o p r o v e T h e o r e m 1 . T h e c o n d i t i o n s( i ), ( i i i ) i n T h e o r e m 2 c a n b e e a s i l y v e r i i f e d o n c e o u r s y s t e m( 4 ) i s t r a n s f o r me d i n t o a n e w s y s

t e m wi t h z e r o i n i t i a l d a t a a s i n( 2 ) .I n o r d e r t o v e r i f y T h e o r e m 1, i t s u ic f e s t o l e t t h e s y s t e m( 4 )s a t i s f y t h e f o l l o wi n g c o n d i t i o n .

9 46

CHI NES E J OURNAL OF ENGI NEERI NG MA THE M ATI CS

V0L . 3 1

Pr opo s i t i o n 1 Le t R>0, t h e r e i s a c o n s t a n t C>0 s u c h t h a t f o r a n y 0< s<s 1, we h a v e

F( u l, U 2 )一F( v l, v 2 ) I I I s, S—

S

( U l, U 2 )一( V l, V 2 )…

or f a n y』 a n d v j i n t h e b a l l B( 0, R ) c E .To e s t a b l i s h Pr o p o s i t i o n 1,we n e e d t h e f o l l o wi n g t wo l e mm a s: Le m ma 1 L e t 0< 8< 1, t h e r e i s a c o n s t a n t C>0, i n d e p e n d e n t o f s, s u c h t h a tor f a n y a n d V i n Es, we h a v e

u …。 c L 1 l u… … … ,w h e r e C= ( r ) d e p e n d s o n l y o n r . T h i s l e mma i mp l i e s t h a t o f r f ( x )=X。,

, ( u )一， ( ) l l I =I l I。~u l l 1 Cl l I u+ l l I l l l钆一V l l I。Le mma 2【。】 F o r a n y 0< s< 8< 1 we h a v e.

u l l I s, S—

S

r“… ,…P 2 u…。 … I】 I s .

No w, we a r e i n a po s i t i o n t o p r o v e Pr o p o s i t i o n 1 Pr oo f No t e t

ha t

F( u l, U 2 )一F( V l, v 2 ),=

…F 1 ( 1, 2 )一F 1 ( V l, v 2 )… ,+…F 2 ( 1, U 2 )~ ( 1, u 2 ) l J I s '=1 1+厶.

Ne x t, we wi l l u s e L e mma 1 a n d L e mma 2 t o e s t i ma t e厶 a n d/ 2, r e s p e c t i v e l y .o r厶， F i t f o l l o ws t h a t

厶 丢… P 1 (, ( u )一 ., ( ) )… ,+￣ I I I P I ( u 一 ) l J + I I I g 2 ( f ( )一 ., ( u ) ) I J I+ o 1 2

… P 2 (。 )一 ) ) I l l ,+C o q -毒 )… P 2 ( U 1 - V 1 )… , … u l+ v l… I I 1￣ 1 - v l…。+未C . 2s— s

u 1一u 1 l I I

+ l l I +V l】 I , l l l U l— l l I,+

2

u 2+V 2… , I l 1钆 2一 2…

+ ( c。+杀 )… r“ … ,… ( ' A l l￣? A 2 ) 。 ) I 】

N0. 6

h e DGH Eq u a t i o n he Ca u c h y Pr o bl e m f or t zha o ca i xi a,Fl】Yi n g:Ana l yt i c s。 1 u t i。 n8 o f t—

9 4 7

—

wh e r e i n t h e l a s t t wo s t e p s, we h a v e us e d Le mma 1 a n d Le mma 2

S i mi l a r l y

I l l￣(札。一+ O L 2

) I l l ,+; z l l l P l ( 。一。 ) I l l s,+I I I P 1 P 2 ( f (札 )一f ( V 1 ) ) i l l s

… P 1 P 2 ( .厂 ( )一， ( 。 ) ) I I I。,+C o d - )…尸 1 P 2 ( U l - v 1 )… s,(… I l l。 I l I 一v l l I l +l l I l I【 I l l— _ I I s )+ S—1S

<S— S

2一V 2 I l I

+S— S

( 1 1 1￣ 1+ v l… s 1 l 1 7￣ 1 - V l… + O Z 2 i

u。+ … ' t t 2 - V 2… s )0+S— S

+/ c . 7、.

c￣ ( r, n ) i l l (,

)一( v l,￣ 2 ) l l l .

S— S

He n c e, we o b t a i n

F( U l , u 2 ) 一 F( v l, v 2 ) l l I l ,Wh e r e

l l l ( u l,￣)一 ( v l, v 2 ) l l l 。 s,

S—

…

S

(\

—

,

— o

)

Th e p r o o f o f Pr o p o s i t i o n 1 i s t h e n c o m pl e t e d Th us we ha v e e s t a b l i s h e d Th e o r e m 1 .

3 Conc l us i on

A t i f r s t, w e c h a n g e d t h e C a u c h y p r o b l e m( 1 ) i n t。t h e v e r s i o n w h i c h i s p r e s e址e d i n t h e i n i t i a l v a l u e p r。 b l e m( 2 ) .T h e n W e p r o v e d t h a t i t s a t i s i t e s t h r e e c o n d i t i。 n 8。 fTh e o r e m 2 .Ba s e d o n t h i s t h e o r e m, we i f n d t h a t i f u0 i s a r e a l a n a l y t i c f u n c t i o n o n ’

t h e n t h e r e e x i s t s a n >0 a n d a u n i q u e s o l u t i o n u o f t h e i n i t i a l v a l u e p r o b l e m( 1 ) t h a ti s a n a l y t i c o n(一 E,￡ )× .

Re f e r e nc e s: 【 1】Du l l i n H R, G。 t t w a l d G A, H o l m D D. A n i n t e g r a l s h a l l o w w a t e r e q u a t i。 n w i t h l i n e a r a n d n。 n l i n e a r d i s p e r s i o n[ J] . P h y s i c a l R e v i e w L e t t e r s, 2 0 0 1,

8 7 ( 1 9 ): 1 9 4 5— 1 9 4 8 【 2】T i a n L, Gu i G, L i u Y. On t h e C a u c h y p r 0 b l e m a n d t h e s c a t t e r i n g p r o b l e m f 0 r t h e Du 1 1 G。 t t wa 1 d - H。 1 m

e q u a t i。 n【 J】 . C o mmu n i c a t i 0 n s i n Ma t h e ma t i c a l P h y s i c s, 2 0 0 5, 2 5 7 ( 3 ): 6 6 7 _ 7 0

CHI N ESE J O URN AL 0F ENG I NEERI NG M ATH EM ATI CS

V oL.3 1

[ 3 1 F u Y, Ma Y C. P e r s i s t e n c e a n d u n i q u e c o n t i n u a t i o n p r o p e r t i e s o f s o l u t i o n s o f t h e DGH e q u a t i o n[ J] . Ch i n e s eJ o u r n a l o f E n g i n e e r i n g Ma t h e ma t i c s, 2 0 0 9, 2 6 ( 3 ): 4 1 6— 4 2 2

f 4】O v s i a n n i k o v L V. A n o n l i n e a r C a u c h y p r o b l e m i n a s c a l e o f B a n a c h s p a c e s[ J】 . D o k l a d y Ak￣ d e mi i Na u k S S S R, 1 9 7 1, 2 0 0 ( 4 ): 7 8 9— 7 9 2 【 5】H i mo n a s A A, Mi s i o l e k G. A n a l y t i c i t y o f t h e C a u c h y p r o b l e m f o r a n i n t e g r a b l e e v o l u t i o n e q u a t i o n[ J] .Ma t h e ma t i s c h e A n n a l e n, 2 0 0 3, 3 2 7 ( 3 ): 5 7 5— 5 8 4

『 6 6 Y 1 a h K, Yi n z . A n a l y t i c s o l u t i o n s o f t h e C a u c h y p r o b l e m f o r t w o— c o mp o n e n t s h a l l o w w a t e r s y s t e ms[ J】 .Ma

t h e ma t i s c h e Z e i t s c h r i f t, 2 0 1 1, 2 6 9 ( 3— 4 ): 1 1 1 3— 1 1 2 7

f 7]B a o u e n d i S, G o u l a o u i c C. Re ma r k s 0 n t h e a b s t r a c t or f m o f n o n l i n e a r Ca u c h y— K o w a l e v s k i t h e o r e ms[ J】 .C o mmmu n i c a t i o n s i n P a r t i a l Di f e r e n t i a l E q u a t i o n s, 1 9 7 7, 2 ( 1 1 ): 1 1 5 1— 1 1 6 2

DGH方程 C a u c h y问题解的解析性赵彩霞，一，付英

( 1一西北大学数学学院，西安 7 1 0 1 2 7;2一山西省忻州市实验中学，山西忻州 0 3 4 0 0 0 )

摘

要： C a u c h y问题是偏微分方程研究中的重要问题之一，而初值的性质在很大程度上决定了

偏微分方程解的性质 .本文研究了DGH方程的 C a u c h y问题在初值解析的情形下解的性质：

我们在一个合适度量的 B a n a c h空间中利用压缩的思想证明，DGH方程 C a u c h y问题初值解析时，其解关于空间变量全局解析，而关于时间变量局部解析 . 关键词： DG H方程；压缩思想：解析性