高等数学常微分方程讲义,试题,答案

第四章 常微分方程

§4.1 基本概念和一阶微分方程

（甲） 内容要点 一、基本概念

1、 常微分方程和阶 2、解、通解和特解3、初始条件4、齐次线性方程和非齐次线性方程 二、变量可分离方程及其推广

1、

dy

p(x)Q(y)dx

(Q(y) 0) 2、齐次方程：

dy dx

y f x

三、一阶线性方程及其推广

1、

dydy

P(x)y Q(x) 2、 P(x)y Q(x)y dxdx

( 0,1)

四、全微分方程及其推广（数学一）

1、 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,满足

Q P

x y

2、 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,五、差分方程（数学三） （乙）典型例题 例1、求y x

2

2

Q p (RQ) (RP)

但存在R(x,y)，使 x y x y

dydy

xy的通解。 dxdx

解：y (x xy)

22

dy

0dx

y

dyy2 x dxxy x2 y

1 x

2

yduu2

令 u,则u x udx x(1 u)du 0

xdxu 11 udx

du u x C1 ln|xu| u C1

xu e

例2

C1 u

ce, y ce

dyy

的通解 dxx y4

u

yx

求微分方程

dxx y4dx1

解：此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程 即 x y3是一阶

dyydyy

11

dy 14 dy 133yy

dy C y Cy 线性方程P(y) ,Q(y) y x e ye

y 3

例3

设y e是xy p(x)y x的一个解，求此微分方程满足yx ln2 0的特解

x

x

x

解：将y e代入微分方程求出P(x) xe先求出对应齐次方程

x,方程化为

dy

(e x 1)y 1 dx

x xdy

(e x 1)y 0的通解y cex e根据解的结构立刻可得非齐次方程通解y ex cex e dx