万有引力与航天经典教案(11)

万有引力与航天经典教案

（3）F引=GMm=F心=ma心=m2

r

4 rT

2

2

③

即：GMm=m2

r

4 rT

2

2

从上述动力学方程的三种表述中，可得到相应的天体质量的三种表达形式：

2

（1）M=vr/G. （2）M=ω2r3/G. （3）M=4π2r3/GT2.

上述三种表达式分别对应在已知环绕天体的线速度v，角速度ω，周期T时求解中心天体质量的方法.

以上各式中M表示中心天体质量，m表示环绕天体质量，r表示两天体间距离，G表示引力常量.

5.从以上各式的推导过程可知，利用此法只能求出中心天体的质量，而不能求环绕天体的质量，因为环绕天体的质量同时出现在方程的两边，已被约掉。

（四）实例探究

［例1］某人在某一星球上以速度v竖直上抛一物体，经时间t落回抛出点，已知该星球的半径为R，若要在该星球上发射一颗靠近该星运转的人造星体，则该人造星体的速度大小为多少？

解析：星球表面的重力加速度g=人造星体靠近该星球运转时：

vt2

2

2vt

mg=G

MmR

2

=m

v

R

(M:星球质量.m:人造星体质量)

2vRt

所以v′=

gR

［例2］一艘宇宙飞船绕一个不知名的、半径为R的行星表面飞行，环绕一周飞行时间为T.求该行星的质量和平均密度.

解析：设宇宙飞船的质量为m，行星的质量为M.宇宙飞船围绕行星的中心做匀速圆周运动.

2 2Mm

G2=m()R RT

所以M=又v=所以 ρ=

MV 3 GT

2

4 RGTπR3

2

23

43

★课余作业

课后完成P74“问题与练习”中的问题。

1.根据观察，在土星外层有一个环，为了判断是土星的连续物还是小卫星群，可测出环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系.下列判断正确的是( )

A.若v与R成正比，则环是连续物 B.若v2与R成正比，则环是小卫星群 C.若v与R成反比，则环是连续物 D.若v2与R成反比，则环是小卫星群

2.已知地球的半径为R，地面的重力加速度为g，引力常量为G，如果不考虑地球自转的影响，那么地球的平均密度的表达式为________.