数列典型习题及解题方法(10)

数列典型习题及解题方法

则辅助数列{bn}是公比为2的等比数列

∴bn b1qn 1即an 1 (a1 1)qn 1 2n ∴an 2n 1 例12： 已知数列｛an｝中a1 1且an 1

an

（n N），求数列的通项公式。 ，

an 1

解：∵an 1

an

an 1

∴

a 1111

，则bn 1 bn 1 n 1， 设bn anan 1anan

1

1为首项，1为公差的等差数列 a1

11 bnn

3 an 1

，n 2，3，4，…． 2

故｛bn｝是以b1

∴bn 1 (n 1) n ∴an

1)an 例13.（07全国卷Ⅱ理21）设数列{an}的首项a1 (0，，

（1）求{an}的通项公式； 解：（1）由an

3 an 1

，n 2，3，4，…， 2

1

整理得 1 an (1 an 1)．

2

又1 a1 0，所以{1 an}是首项为1 a1，公比为

1

的等比数列，得 2

1

an 1 (1 a1)

2

n 1

注：一般地，对递推关系式an+1=pan+q (p、q为常数且，p≠0，p≠1)可等价地改写成

an 1

根。

qqqq

p(an ) 则{an }成等比数列，实际上，这里的是特征方程x=px+q的

1 p1 p1 p1 p

(2) f(n)为等比数列，如f(n)= qn (q为常数) ，两边同除以qn，得为bn+1=pbn+q的形式。

q

an 1anan p 1，令b，可转化n=nn 1n

qqq

511n+1

， an+1=an+（），求an的通项公式。 632

11n+12n2n+1n+1n

解：an+1=an+（） 乘以2 得 2an+1=(2an)+1 令bn=2an 则 bn+1=bn+1

3233

例14.已知数列{an}中，a1=