数列典型习题及解题方法(6)

数列典型习题及解题方法

（3）1,（4）

2,31,2

12, ,23

2

, 534, , 45

解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1， ∴通项公式为：an 10n 1

n22n

; （4）an ( 1)n 1 ; （3）an （2）an n 2. n 1n 1n 1

观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系。 二、定义法

例2： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函

数f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，

(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；

解：(1)∵a 1=f (d－1) = (d－2)2，a 3 = f (d+1)= d 2， ∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，

∴d=2，∴an=a1+(n－1)d = 2(n－1)；又b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q－1)=(q－2)2，

b3(q 2)22∴=q，由q∈R，且q≠1，得q=－2， b1q2

∴bn=b·qn1=4·(－2)n1

当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。

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三、 叠加法

例3：已知数列6，9，14，21，30， 求此数列的一个通项。 解 易知an an 1 2n 1,

∵a2 a1 3, a3 a2 5, a4 a3 7,

an an 1 2n 1,

∴an n2 5(n N)

各式相加得an a1 3 5 7 (2n 1)

一般地，对于型如an 1 an f(n)类的通项公式，只要f(1) f(2) f(n)能进行求和，则宜采用此方法求解。 四、叠乘法

例4：在数列｛an｝中，a1 =1, (n+1)·an 1=n·an，求an的表达式。 解：由(n+1)·an 1=n·an得

an 1n

， ann 1

1ana2a3a4an123n 11 a =…= 所以 n

n234nna1a1a2a3an 1

一般地，对于型如an 1=f(n)·an类的通项公式，当f(1) f(2) f(n)的值可以求得时，宜采

用此方法。