数列典型习题及解题方法(3)

数列典型习题及解题方法

探索解题的途径．

解：(1)由Sn 1=4an 2，Sn 2=4an 1+2，两式相减，得Sn 2-Sn 1=4(an 1-an)，即an 2=4an 1-4an．(根据bn的构造，如何把该式表示成bn 1与bn的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)

an 2-2an 1=2(an 1-2an)，又bn=an 1-2an，所以bn 1=2bn ① 已知S2=4a1+2，a1=1，a1+a2=4a1+2，解得a2=5，b1=a2-2a1=3 ② 由①和②得，数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列，故bn=3·2

n 1

．

当n≥2时，Sn=4an 1+2=2

n 1

(3n-4)+2；当n=1时，S1=a1=1也适合上式．

n 1

说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前n项和。解决本题的关键在于由条件Sn 1 4an 2得出递推公式。

2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．

综上可知，所求的求和公式为Sn=2

(3n-4)+2．

1

（an-1） (n N+),（1）求a1;a2; (2)求证数列{an}为等比数列。 3

11111

解: (Ⅰ)由S1 (a1 1),得a1 (a1 1) ∴a1 又S2 (a2 1),即a1 a2 (a2 1),得

332331a2 .

4

11

(Ⅱ)当n>1时,an Sn Sn 1 (an 1) (an 1 1),

33

例3．设数列{an}的前项的和Sn= 得

an111

,所以 an 是首项 ,公比为 的等比数列.

22an 12

552

,an+2=an+1-an (n=1,2,---),令bn=an+1-an (n=1,2---)求数列{bn}的通项公式，(2)求数列333

例4、设a1=1,a2=

{nan}的前n项的和Sn。

5222

an 1 an an 1 (an 1 an) bn 3333

222n

(n 1,2, ) 故{bn}是公比为的等比数列，且b1 a2 a1 ,故 bn ()

333

2n

（II）由bn an 1 an ()得

3

解：（I）因bn 1 an 2 an 1