2011届高三数学一轮复习教案：(教师用)第七章立(4)

练兵

（2）某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状

分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。 解析：（1）这两个几何体的三视图分别如下：

（2）该几何体为一个正四棱锥。

点评：画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚，选择一个合适的主视方向。一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。主视图反映物体的主要形状特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。左视图和 俯视图共同反映物体的宽要相等。据此就不难得出该几何体的形状。

例5．如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）的球心O，且与BC，DC分别交于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是 S1=S2 。 解析：连OA、OB、OC、OD，

则VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFD

VA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC

又VA－BEFD＝VA－EFC，

而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，

B故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC

又面AEF公共，故选C

点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。

备用题：1。如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=。

3

（

（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；

（2）求这个平行六面体的体积。

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图2 解析：（1）如图2，连结A1O，则A1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M， 作ON⊥AD交AD于N，连结A1M，A1N。

易得A1M⊥AB，A1N⊥AD。∵∠A1AM=∠A1AN， ∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N，

从而OM=ON。∴点O在∠BAD的平分线上。

AM13 3

（2）∵AM=AA1cos=3×= ∴AO==2。

2223

cos

又在Rt△AOA1中，A1O=AA1- AO=9－

322

22 2

499

2

=

2

，

322

∴A1O=，平行六面体的体积为V 5 4 302。

2．如图1是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．

A

A

C 正视图 正视图 侧视图 侧视图

A

图

1 图2 俯视图 俯视图

变式题1．如图2是一个几何体的三视图（单位：cm） （Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；

（Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；

（Ⅲ）设异面直线AA 与BC 所成的角为 ，求cos ．

解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图3所示． （Ⅱ）这个几何体是直三棱柱． B3由于底面 ABC的高为1

，所以AB

B

图

3

故所求全面积S 2S ABC SBB C C

2SABB A