弗赖登塔尔数学教育思想对中学数学教学的启示(4)

对中学数学教育的帮助

弗赖登塔尔认为数学化，就是数学地组织现实世界的过程。即人们在观察、认识、和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织，以发现其规律的过程[6]。在他看来，数学的产生与发展本身就是一个数学化的过程。先人从手指或石块的集合形成数的概念从测量、绘画形成图形的概念都是数学化。此外当数学家们从具体的置换群与几何变换群抽象出群的一般概念时，也是一种数学化。甚至可以说整个数学体系的形成就是一个数学化的过程。而人们学习数学的过程，实际上又或多或少地遵循着历史发展的规律。通俗点讲，数学化就是把现实中的东西通过数学工具转化成数学公式、定理等。比如说圆周率 =3.1415926... ...是前人通过猜想——证明——整理得到一般化的数学概念，比如还有概率与数理统计的发展是由于古代的赌徒问题而产生的，这些都是数学化。

根据Treffers和Goffree的提法，数学化还可以分解为水平的和垂直的两种成分，借助水平的数学化和垂直的数学化，我们可以用下列图表来比较四种不同类型的数学化途径：

其中“十”号表示对这方面给以更多的注意，而“—”号表示较少注意或根本末加注意。当然以上分类也只是相对比较而言，在实际的数学化过程中，这两方面的作用相互缠结，关系错综复杂，并不能截然分开。[5]

回顾历史上最早的传统数学教育，其做法就是机械的途径，教师将各种结论灌输下去，学生被动地接受这些结果，死记硬背，机械模仿，不知道它的来龙去脉，所获得的只是知识的形式堆砌，既不考虑它有什么用处，也不问它互相之间是否有内在联系，可以说很少包含数学化的成分。以后逐渐有所进步，比较多地考虑到实际的经验，也建立了不少现实的模型，从而进入了经验的途径，即较多地顾及水平的数学化，使所获得的数学知识具有一定的实用价值，可以解决一些客观现实中的问题。布尔巴基的“新数学”运动的做法，就采用了构造的途径，强调数学的演绎结构，重视逻辑推理的论证，企图以结构主义的思想来组织整个数学教育，以提高抽象的逻辑思维水平，形成严谨的演绎结构体系作为唯一的目标，从而又由一个极端走向了另一个极端，忽视了数学的现实性，忘却了数学教育的根本目标还是要为现实世界服务，而且一味追求抽象，强调严谨，也不符合教学规律与认识规律。从历史的经验教训，我们应该得出这样的结论，那就是：数学教育的正确途径应该该是现实的数学化途径，我们所需要的课程体系应该全