弗赖登塔尔数学教育思想对中学数学教学的启示(9)

对中学数学教育的帮助

师：那么如何来说明“都有”呢？

生：y x2在[-2，2]上，当x1 ，x2 1时，有f(x1) f(x2)；当x1 1，x2 2时，有f(x1) f(x2)，这时就不能说y x2，在[-2，2]上是增函数或减函数。

师：好极了！通过分析定义和举反例，我们知道要判断函数y=f（x）在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格依照定义在给定区间内任取两个自变量x1,x2，根据它们的函数值f(x1)和f(x2)的大小来判定函数的增减性。

这节课到这里基本上知识点都讲清楚了，总体上已经达到了要求，但是在让学生理解定义的问题上，作者着重于在字眼上去理解，这样理解起来有点费力。并且在教学中没有考虑到学生的现实差异性，并不是每个学生都能想到上面所说的每一步。这样的教学效果就会参差不齐，从而加剧差生和优生的距离，达不到预定的效果。可以这么说，这节课中很多学生是在大合唱，他根本就不知道什么叫单调性，在作练习的时候只是按照老师给定的步骤，根本就回去探询其他中解法，以至于形成了固定的思维模式，不会去“再创造”。

在教学案例中，我们的教学目的就是要会利用单调性的定义去判断某函数的单调性，其实质就是在某个区间去比较自变量和函数值的大小关系。这个比较我们在现实中是常见的，谁比谁漂亮等，既然是比较那是是得有两者，对应于定义中的x1和x2，比较的时候我们要得出一个结果，某某同学是最漂亮的，这个得有一个范围比如在甲班某某是最漂亮的，那就是甲班中的任何一个同学都没有他漂亮，那就对应了定义中的“给定区间”和“任意的两个数x1和x2”，这样通俗易懂的讲解，我想学生理解起来也没那么吃力，教师在讲解的时候也没那么费劲，基本上所有的同学都听懂了，这样一个看上去很难讲的一个数学概念被我们拉入生活中就变得浅显易懂。

根据弗赖登塔尔数学教育思想，数学的根源在于普通常识，数学实质上是人们常识的系统化，它与其他科学有着不同的特点，是最容易创造的科学。为此，在教学时，教师应该让每个人在学习数学的过程中，根据自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识。当然，这也并非机械地重复历史，只是在某种意义上重复人类的学习过程，重复数学创造的历史。这种创造并非按照历史的实际发生过程进行，而是假定我们的祖先，在过去就知道了更多的现有知识以后，情况会怎样发生—可能发生的历史。”[5]

在教学发展中的，数学的四则运算不就是古代人从生活中悟出来的吗？将生活中两种物品放在一起数学花成了现在的加法？例如，教师在“圆周长”的教学中，讲解祖冲之与圆周率，创设人文型情景引入课题，以此激发学生的探究欲望，