工科数学分析-数集和确界原理(2)

U(a; ) x|x a| (a ,a ).

2、点a的空心 邻域

U(a; ) x0 |x a| (a ,a) (a,a ) U(a).

o

o

3、a的 右邻域和点a的空心 右邻域

U (a; ) [a,a ) U (a) xa x a ;U (a; ) (a,a ) U (a) xa x a .

4、点a的 左邻域和点a的空心 左邻域

U (a; ) (a ,a] U (a) xa x a ;U(a; ) (a ,a) U (a) xa x a .

0

5、 邻域， 邻域， 邻域

U( ) x|x| M , （其中

M为充分大的正数）；

U( ) xx M , U( ) xx M

二、有界集与无界集

什么是“界”？

定义1（上、下界）： 设S为R中的一个数集.若存在数M(L)，使得一切x S都有

x M(x L)，则称

S为有上（下）界的数集.数M(L)称为S的上界（下界）；若数集S既有上

界，又有下界，则称S为有界集.

闭区间、(a,b) (a,b为有限数）、邻域等都是有界数集， 集合 E y y sinx, x ( , ) 也是有界数集. 若数集S不是有界集，则称S为无界集.

( , ) , ( , 0 ) , ( 0 , )等都是无界数集,

集合 E y y

1

, x ( 0 , 1 ) 也是无界数集. x

注：1）上（下）界若存在，不唯一；

2）上（下）界与S的关系如何？看下例： 例1 讨论数集N n|n为正整数 的有界性.

分析：有界或无界 上界、下界？下界显然有，如取L 1；上界似乎无，但需要证明.