工科数学分析-数集和确界原理(3)

解：任取n0 N ，显然有n0 1，所以N 有下界1；但N 无上界.证明如下：假设N 有上界M,则M>0，按定义，对任意n0 N ，都有n0 M，这是不可能的，如取n0 [M] 1,则n0 N ，且n0 M.

综上所述知：N 是有下界无上界的数集，因而是无界集.

例2 证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.

问题：若数集S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个). 三、 确界与确界原理 1、定义

定义2（上确界） 设S是R中的一个数集，若数 满足：(1) 对一切x S,有x （即 是S的上界）; (2) 对任何 ，存在x0 S，使得x0 （即 是S的上界中最小的一个），则称数 为数集S的上确界，记作 supS.

定义2'（上确界的等价定义）设E是R中的一个数集，若数M满足： 1） M是E上界， 2） 0, x E使得x 则称数M为数集E的上确界。

定义3（下确界） 设S是R中的一个数集，若数 满足：（1）对一切x S,有x （即 是S的下界）；（2）对任何 ，存在x0 S，使得x0 （即 是S的下界中最大的一个），则称数 为数集S的下确界，记作 infS.

定义3'（下确界的等价定义）设S是R中的一个数集，若数 满足： 1） 是S下界；

2） ＞0，x0 S,有x0＜ . 则称数 为数集S的下确界。 上确界与下确界统称为确界.

注： 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.

命题 设数集A有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的.

M

.