上海高一函数的奇偶性的典型例题1(2)

高一函数

⑸、f(x) x 2 2 x ⑹、f(x) x2 1 x2

解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数

⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数

注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。

x2(x 0)例2：判断函数f(x) 的奇偶性。 2(x 0) x

解:f(0) 02 f(x)

当x 0,即 x 0时,有f( x) ( x)2 x2 f(x)

当x 0,即 x 0时,有f( x) ( x) ( x) f(x)

总有f( x) f(x),故f(x)为奇函数.22

第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。

四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。

命题1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分

条件。

此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。

命题2 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。 此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如f(x)=x(x∈〔-1,1〕),g(x)=x(x∈〔-2,2〕)，可以看出函数f(x)与g(x)都是定义域上的函数，它们的差只在区间〔-1，1〕上有定义且f(x)-g(x)=0，而在此区间上函数f(x)-g(x)既是奇函数又是偶函数。

命题3 f(x)是任意函数，那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数。

f(x),(f(x) 0此命题错误。一方面，对于函数|f(x)|= 不能保证f(-x)=f(x)或 f(x),(f(x) 0),

f(-x)=-f(x)；另一方面，对于一个任意函数f(x)而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数f(|x|)是偶函数。

命题4 如果函数f(x)满足：|f(x)|=|f(-x)|，那么函数f(x)是奇函数或偶

函数。

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