几何代数06-07试题含答案(3)

（2）

求一个正交变换 x Qy ，把 f

化为标准形, 并给

出该标准形；

（3）

假设 a 0 ，求 t 2x max

f (x1, x2 , x3 ) 的

1 x2 x3 a

值．

1 2 0

解: (1)

二次型的矩阵A 2 1 0

;

0 0 1

1

0 (2)

1 Q

0 0 0 1 ;

标准型为 f 3 y2 2

1 y2 y3 .

(3) t=3a.

六． （15%）证明题：

1.

已 知 矩 阵

a b

A c d

I ， 其 中 ，

a d 2, ad bc 1。证明： A 不与任何对角阵

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相似．

证明: 先由 迹( A) 2, 1 ,求出 A 的特征值均等于 1;

再利用反证法:假设 A 相似于对角阵,则 A 相似于单位阵,则 A 为单位阵,矛盾; 所以 A 不相似于对角阵.

2.

假设

s n 矩阵 A 的秩等于 r ，并且非齐次线性方程组 Ax b （ b ）有解。证明： Ax b 有并且只 有 n r 1个线性无关的解向量．

证：设 ξ 为 Ax=b 的一个特解. 因为 A 的秩为 r, 所以可设 η1 ,η2 ,…,ηn-r 为 Ax=θ 的一个基础解系. 则断言：

ξ，ξ+η1 , ξ+η2 , …, ξ+ηn-r

为 Ax=b 的一组线性无关解. 首先，易证它们是 Ax=b 的一组解. 其 次，

证它们线性无关：设 k0 ξ+k1 (ξ+η1 )+k2 (ξ+η2 )+ …+kn-r(ξ+ηn-r )= θ. 整理可得

(k0 +k1 +k2 +...+kn-r )ξ+ k1 η1 + k2 η2 +...+kn-r ηn-r= θ. （*）

此时，若 k0 +k1 +k2 +...+kn-r≠0，则 ξ=-(k0 +k1 +k2 +...+kn-r)-1 [k1 η1 + k2 η2 +...+kn-r ηn-r], 易得 Aξ=θ, 与 b≠θ 矛盾！于是 k0 +k1 +k2

+...+kn-r=0.

从而由（*）得到 k1 η1 + k2 η2 +...+kn-r ηn-r= θ. 又因为 η1 ,η2 ,…,ηn-r 为 Ax=θ 的一个基础解系，它们是线性无关的，所以 k1= k2= ...= kn-r=0. 联立 k0 +k1 +k2 +...+kn-r=0, 可得 k0 =0. 这样就证得 ξ，ξ+η1 , ξ+η2

, …, ξ+ηn-r 为 Ax=b 的一组线性无关解.

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