第二章_随机型决策理论与方法(20090928)(11)

数学建模方法

当然人们会选择期望效用大的那种行动．

现在要探究效用的存在性，即是不是确实有定义2．1所定义的效用和在 上的优先关系一致？答案是：不是在 上的任何优先关系都有和它一致的效用，只有当在 上的优先关系符合以下四条公理时，才有和它的一致的效用．这四条公理统称为理性行为公理，因为一般认为他们是符合人的理性行为的．这四条公理是：

公理1 在 上的一优先关系是连通的，即如果P1，则或者P1 P2，或者P1 P2 ，或者P1 ～ P2 ∈ ，P2 ．

公理2 在 上的一优先关系是传递的，即若P1，P3∈ ，而且P1 P2， P2 P3，则必有P1 P3 ． P2 ，

公理3 如果P1， P2和Q∈ ,而且0<p<1，则P1 P2，当且仅当

pP1 (1 p)Q pP2 (1 p)Q (2．10)

公理4 如果P1 ，P2和 P3∈ ，而且P1 P2 P3，则存在数p和q，0<p<1和0<q<1，使

pP1 (1 p)P3 P2 qP1 (1 q)P3 (2．11)

上述四条公理的意义是：公理1保证了 中所有元素都可以成对比较，没有不可比较的元素．公理2保证 中的各元素都可以按一定的优先关系排列次序，如果有些元素无差异，则它们可以排列在同一位置上．符合以上两条公理的集称为全序集．公理3说明了两个具有相同概率分布的展望(p, P1;(1-p),Q)和(p, P2; (1-p),Q)的优先关系取决于他们的结果P1 和P2的优先关系，无论这种展望是简单的还是复合的．复合的展望是以其他的展望P1， P2和Q作为它的结果．公理4意味着没有一种结果比其他所有的结果都无限好，也没有一种结果比其他的所有结果的无限坏．

2．4．2 效用函数的构造

在管理决策分析中，为了便于做定量决策分析，有必要构造效用函数，即求得所有可能的结果的效用值．下面介绍构造效用函数的方法． 1．估计效用函数值的几种常用方法 （1）概率当量法

根据上述公理4，若P1，P2，P3

P 2

，且P1 P2 P3，则存在１> > >0 P1 (1 P) （2．12）

)3 使 P1 (1 P

另一方面，一定也存在某一 （ > > ）, 使得

P P (1 )P （2．13）

由于确定性的结果xi xi Pi, 所以对此xi式（2．13）亦即

x2 x1 (1 )x 3 （2．14） 式（2．14）的含义是确定性结果x与一个随机性结果无差异，这个随机性结果以概率 获得x1(x1 x2)，

2

以概率(1- ) 获得x3(x3 x2)．利用式（2．14），通过确定 值（即概率当量）去设定三个结果之间的