范德蒙行列式的应用论文

范德蒙行列式

范德蒙行列式的应用

摘要 行列式是线性代数的主要内容之一，它是后续课程线性方程组、矩阵、向量

空间和线性变换的基础，有着很重要的作用。而n阶范德蒙行列式是线性代数中著名的行列式，它构造独特、形式优美，更由于它有广泛的应用，因而成为一个著名的行列式。它的证明过程是典型行列式定理及数学归纳法的综合应用。本文将通过对n阶范德蒙行列式的计算, 讨论它的各种位置变化规律, 介绍了如何构造范德蒙行列式进行行列式计算，以及探讨了范德蒙行列式在向量空间理论、线性变换理论以及微积分中的应用。

关键词：行列式；范德蒙行列式；向量空间理论；线性变换理论；微积分

范德蒙行列式

VANDERMONDE DETERMINANT OF APPLICATIONS

ABSTRACT The determinant is one of the main contents of linear algebra, which is the follow-up course of linear equations, matrixes, vector spaces and linear transformation of the base, has a very important role. The n-order Vandermonde determinant is the determinant of well-known in linear algebra, which constructs a unique form of beauty, but the more because it has a wide range of applications, and thus become a well-known determinant. It's proof process is typical determinant theorem and comprehensive application of mathematical induction. This article will through the n-order Vandermonde Determinant of calculation and discussing the variation of its various locations, describes how to construct a Vandermonde determinant of the determinant calculation, as well as to explore the Vandermonde determinant of applications in the theory of vector spaces, linear transformation theory and infinitesimal calculus.

Key words: linear algebra， Vandermonde determinant， theory of vector spaces， linear transformation theory， infinitesimal calculus.

范德蒙行列式

第一章 绪 论

1.1 引言

我们首先来介绍范德蒙行列式的定义及其计算方法.形如行列式

(1)

称为n 阶的范德蒙（Vandermonde）行列式.

我们来证明，对任意的 阶范德蒙行列式等于

这n 个数的所有可能的差

（1≤j＜i≤n）的乘积.

1.2 范德蒙德行列式的证明

1.2.1 用数学归纳法证明范德蒙德行列式

我们对作归纳法.

（1）当时， 结果是对的.

（2）假设对于级的范德蒙行列式结论成立，现在来看级的情况.在

范德蒙行列式

中，第行减去第

行的

倍，第倍，有

行减去第

行的

倍，也就是由下而上依

次地从每一行减去它上一行的

()()()

范德蒙行列式

后面这行列式是一个n-1级的范德蒙德行列式，根据归纳法假设，它等于所有可能差

（2≤j＜i≤n）；而包含的差全在前面出现了.因之，结论对级范德蒙德行列式也成

立.根据数学归纳法，完成了证明.

用连乘号，这个结果可以简写为

由这个结果立即得出，范德蒙德行列式为零的充分必要条件是

这n个数中至少有两个相等.

1.2.2 用定理证明范德蒙德行列式

已知在级行列式

中，第行（或第列）的元素除

外都是零，那么这个行列式等于

与它的代数余子式

的

范德蒙行列式

乘积

，在

=

中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的倍得

=

根据上述定理

=

提出每一列的公因子后得

范德蒙行列式

=

最后一个因子是阶范德蒙行列式，用表示，则有

=

同样可得

=（

此处

）()()

是一个n-2阶范德蒙行列式，如此继续下去，最后得

=（）()（）

1.3 范德蒙行列式的性质

利用行列式的性质容易推得： 1、 若将范德蒙行列式

逆时针旋转

可得

2、 若将范德蒙行列

范德蒙行列式

3、 若将范德蒙行列式

第二章 范德蒙行列式的应用

2.1 范德蒙行列式在行列式计算中的应用

利用行列式的性质，我们可以简化行列式的计算。但是对于一些结构特殊的行列式，可以考虑用一些特别的方法。下面以n阶范德蒙行列式为例，我们来说明怎样利用n阶范德蒙行列式来简化行列式的计算。对于（1）式而言，n阶行列式D_n的每列都是某一个数的不同方幂，且自上而下方幂次数由0递增至n-1。根据范德蒙行列式的这种结构特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后利用其结果计算。

常见的化法有以下几种：

所给行列式各列（或各行）都是某元素的不同次幂，但其幂次数的排列与范德蒙行列式不完全相同，需利用行列式性质（如提取公因式，调换各行（或各列）的次序,拆行（列）等）将行列式化为范德蒙行列式。

范德蒙行列式

例1 计算

解：由范德蒙行列式的性质3得

2.1.1用提取公因式计算行列式

例2 计算

解：

中各行元素都分别是一个数的不同方幂，而且方幂次数从左至右按递增次序排

列，但不是从0变到n-1，而是由1递升至n，如提取各行的公因数则方幂次数便从0变到n-1，于是得

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