高数 第十二章 第七节

第七节 傅立 叶Fo(rueri) 数级1.问题 的提出.2三 角数函的正系交性

3.函 数展傅立叶级成4数 .弦级正数余和级弦数5 小结、.业作1/23

、问一题提的出 弦正函 y数 A s i(n t ) —— 单的周简期象现.考虑非，正弦周函数能否期表不为频同率弦正波的叠加

( t )f 0 AA s1ni(t 1 ) A2 s n(2 ti 2 ) An si nn( t n ) A 0 (Ansi n n co s tn A nc s o n is nnt ).

a0令 0A, a n An isn n ,n b Anc s on , t x, 2 n 1

0 a (a cns on xbn sin nx )——2 期 周2 n 2/132

二、角函数三系的正交

1性, cs ox, is nx ,cso2 x si, n 2x ,co ns x,sin x n, 2在 长期周间上具有区正性交, 即两任不个同函 的数积在乘 2 长 间上积区=分0:

c o snxx d snnxidx , si0nmx snnixdx cos mx cos xdnx

0,m n ,, m n s imxn csonx x d 0(,m n 1 ,, )322/

3

三、数展函傅里叶成级 数问题:1 .能若展, a开ib、 是i么?a0 设 f ( x ) 什 a( kcos kx bk is kx)n , 2 k1可 逐项积分 1( )a求 0 : 2. 开的展条件是什? 1.么傅里叶数 系

f x ()xd

a 0xd k 1( k a cs okdx x kb s nixkx)d 2

0 a 2 2,1 0a f (x )xd4 2/3

(2) 求a n :

(ak cso xk co sxnx bd kin kx cossn xd)x

0 a (f x )ocsn dxx 2 os cnxx d

an c osn dxx na , 2 k 1

1 a

n

f( x ) cos nxd x( 1,2n3, ),

3( )bn求 bn: 1

f(x ) in sxnxd5/23

1 a n f ( x )cs noxd x n( 0 1,2,, )1 n b f ( x ) is nndx (nx 1 ,23,,) 傅 叶里数:级傅里叶数:系a f0 x( ~) (a n cos x n bn si nxn) 2 n 1件条 ? a 0(a nc s oxn n sbni x n) 问:题f (x )2n 162/3

2

.利克狄雷D(ricilet)h分条充件(收定敛理)设 f (x ) 是2 周 期数.函如它在一个周期长果区上满间条件：足1.续连只有或有(限个)一类第间点,断2.至多只有限有极值点.个f ( x 0) f( x 0 则)f ( x ) 的傅叶里数级收敛 于() .2 (特，在连续别点收处于 f 敛(x ) ) /273

例1 以 2为周期 的矩形冲脉波的 形 1, t 0 (ut ) 0 t ,11

u

o 1

t

解将展开其为立叶级数.

1傅 u ( ) toc stntda n 0 ( n 01,,2 ,;) 1 (u t)si ntntd bn 4 ,n 2 k 1 ( k 2 1 ,) k Z . 0

, n 2

k 823

/ 1据收根敛理定， u( t有 ) 2 n 1s in( 2n 1)t n 14

( t 0 , , 2 ,)

u

1 函数图

o 1 象 u1

t

和函图数象 o 1

t/923

看观u(:t )不频率正弦同波量分叠的过加程4 u s int 1023/

看观u( t :)不同 频率正波分弦量叠加的程

过 1 u 4( ins t sni t 3) 3 1/023

观看u: (t) 不频率同正弦分量的叠加过波程

41 u 1 si(nt sin 3 t sni5 t ) 3510/3

观看2:u( t )同频不率弦正分量的波叠加程

4 过1 1 1u (sni t sni 3 t in s5 t s ni7 t) 3 5 7 01/32

观：看( ut )不同 频率弦波正分的叠量加过

4 程1 111 u (si nt s i 3t n in s5t sni 7t si nt9 ) 3 759 10/2

观看3u(: t) 同频不率弦正波量的分加叠过程4 u in t s 0/231

注: 2 对 长区间定义上非的期函周 f数 x() 也展成 可2 周傅氏期级.数作法:

2 周延拓F期( x) : ( xf)

dfx ( , ),则 F(x ) 与 f (x )有 同相氏级傅数

得 .应用敛收理定，f x ) 的傅(级氏展式数.

注：意在 端处点收敛情的况.1123/