机械振动第三讲2013

2.5 线性阻尼系统的自由振动线性阻尼:阻尼力与速度一次 方成正比，方向相反。 由牛顿第二定律得到： m cx kx x x0x

k m c

m cx kx 0 x

单自由度有阻尼振动系统 称为阻尼率 (无量纲) 称为临界阻尼系数

k c c n 引入记号 2m n 2 mk m定义ccr 2m n 2 mk

有阻尼振动方程： 2 n x n 2 x 0 x

设解为16:57

x Aest ,代入以上微分方程得到其特征方程

单自由度系统自由振动

s 2 2 n s n 02

特征方程有两个根

s1, 2 ( 2 1) n

特征根(值)依赖ζ的不同情况取实数或复数,原方程的通 解具有不同的形式。 1 1

超(过)临界阻尼情形临界阻尼情形 亚临界阻尼情形

c c c 2m n 2 m k ccr

0 1

16:57

单自由度系统自由振动

超(过)临界阻尼情形s1,2 ( 1) n2

1x (t)Ae s1t

通解的两项均为随 时间单调变化的量

C Ccrt

特征方程有两个不相等的负 实数根。 自由振动方程通解：Be s2t

x Aes1t Bes2t代入初始条件有： x0 x0 1 A ( x0 ) 2 2 1 n 2 116:57

超临界阻尼情形

x0 x0 1 B ( x0 ) 2 2 2 1 n 1

单自由度系统自由振动

临界阻尼情形

1

s1 s2 n 是二重负实数根.自由振动通解：x=(A+Bt)e-ω tn

设 t=0 时，初始位移为 x0 初始速度为 x0 , 则方程解为

x (t)

x(0) 0 x(0) 0

C Ccrt x(0) 0

x [ x0 ( x0 p x0 )t ]e nt超临界阻尼和临界阻尼情形下， 系统的自由运动不具有振动特性。临界阻尼情形

16:57

单自由度系统自由振动

亚临界阻尼情形

0 1

x (t)

两个特征根是共轭复数s1, 2 n j n 1 2 n j nd

t

x e nt ( A1e j nd t A2e j nd t )亚临界阻尼运动情形

定义： nd 1 2 n 有阻尼固有圆频率 运动合写成

x Ae nt sin( nd t )

显然，在亚临界阻尼下，系统的自由运动具有振动特性。 此时，振动逐渐衰减，能量不断消耗。16:57

单自由度系统自由振动

设 t=0 时，初始位移为 x0 ,初始速度为 x0 , 则系统的自 由振动响应

x Ae系数之间 的关系：A 2 0

nt

sin( nd t ))2

x (

x0 n x0

nd

arctan

nd x0 x0 n x0

系统阻尼分类 粘性阻尼：粘性阻尼力与振动速度成正比。 结构阻尼：内摩擦引起，能量耗散与位移振幅平方成正比。 库仑阻尼：表面干摩擦引起，干摩擦力与运动方向相反，与 接触表面间法向力成正比。16:57

单自由度

系统自由振动

2.6 衰减振动与对数减幅率亚临界阻尼自由振动响应： x Ae nt sin( nd t ) 衰减振动具有等时性。习惯上将ωnd当作衰减振动的频率。T 2 1 2

nd

1 2 n

阻尼使振动周期略微变长。

可以证明:任意两个相邻极大值之间的时间间隔恰巧就 等衰减振动的周期。证明如下： x Ae t [ nd cos( nd t ) n sin( nd t )]n

考虑到极大值和极小值是相互交替出现的，所以任意两个相邻 极大值对应的相位差刚好为2π. 1 时，阻尼对固有频率影响甚微；但对振幅影响不容忽略.16:57

1 2 nd 令上式右端等于0,得 tan( nd t ) n 2 1 当： nd tn n arctan n 0, 1, 2,... 振动达到极值

单自由度系统自由振动

任意两个相邻极大值之比为

1 2 Ln( ) Ln nT 1 2

1 1 Ln( ) 称为对数减幅率，记为- 称为减幅率，取自然对数 12 10 8 6 4 2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8

xs Ae nts sin( nd ts ) n (ts T ) e nT 为常数 xs 2 Ae sin( nd ts 2 )2 1 2

当阻尼很小，即

1

时，有：

2

2 , 2

即，可以由衰减振动时间历 程(响应)曲线算出对数减幅率， 有时，可以用相隔n个 进而求得阻尼率 周期的极大值之比确定对 x ln 1 n nT n 数减幅率：xn 116:57

1

单自由度系统自由振动

第三章 单自由度系统的定常强迫振动强迫振动 线性系统 叠加原理 频率特性

3.1 谐和激励 — 无阻尼情形

m kx F0 cos t xF0 F0 k F0 2 2 p X 0 n m k m k2 2 n x X 0 n cos t x

x(t )

k m

F0 cos t

方程的解=(对应齐次方程的通解) x1+(一个特解) x2设特解(定常强迫响应) 为

则16:57

x2 X cos t 2 X 2 cos t x

单自由度系统的定常强迫振动

代入振动方程，得振幅：2 n X 2 X0 2 ( n )

其中

n

1 X0 X0 2 2 1 1 n 称为“频率比”

1

设初始位移 x0 ,初始速度 x0 , 得系统总的响应

X0 系统总的响应为 x B sin nt D cos nt cos t 2 1

x0 X0 X0 x sin nt x0 cos nt cos nt cos t 2 2 p 1 1

显然，外激励不仅激起强迫振动(第四 项,形式与激励相同的谐和函数),同时 也激起自由振动(第三项)。16:57

单自由度系统的定常强迫振动

X0 x2 cos t 2 1 当γ<1时，x2与外扰

力同相，振幅随γ增大而增大。考察强迫振动响应 当γ>1时，x2与外扰力反相，振幅随γ增大而减小。

X0 X0 cos( t ) 2 cos( t ) 此时， x2 2 1 1β

当 =1,即 n 时，响应振 幅趋于无穷，这种现象称为共振。 振幅随时间成比例增长，这种情 况 …… 此处隐藏：1880字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……