第1计 芝麻开门 点到成功

第1计 芝麻开门 点到成功

●计名释义

七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点. 《阿里巴巴》用“芝麻开门”，讲的是“以小见大”. 就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给“点”开了.

数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这些足以说明“点”的重要性. 因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了.

●典例示范

［例题］ （2006年鄂卷第15题）将杨辉三角中的每一个数Cn都换成分数

r

1

，就得到一个如下图所示的分r

(n 1)Cn

数三角形，称来莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可以看出

111

(n 1)Cnr(n 1)CnxnCnr 1

令an

，其中x .

111111 ，则223123060nCn 1(n 1)Cn

mil

an .

n

［分析］ 一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然大物. 从何处破门呢？我们仍然在“点”上打主意.

莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点的主意.

［解Ⅰ］ 将等式

11

111

与右边的顶点三角形对rr

(n 1)Cn(n 1)CnxnCn 1

1

应（图右），自然有

r(n 1)Cn

11111

xr2 nCn12 (n 1)Cn 1

对此，心算可以得到：n =1，r =0，x=1

对一般情况讲，就是x = r+1 这就是本题第1空的答案.