2015年南宁市中考数学试题及答案(详细解析版)(6)

（1）用含a的式子表示花圃的面积；

（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的3，求出此时通道的宽；

8

（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积x(m2)之间的函数关系如图13-2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？

答案：

解：（1）花圃的面积为S 60 2a 40 2a （2） 60 2a 40 2a 60 40 1 60 2a 40 2a 1500

解得

图13-1

图13-2

3 8

a1 5

a2 45（不合题意，除去）

（3）根据函数图像得

y1 40x

60x 0 x 800 y2 35x 20000x﹥800

∵修建的通道宽度不少于2米且不超过10米 ∴修建花圃的面积x为

60 2 10 40 2 10 x 60 2 2 40 2 2

即800 x 2016 ∴花圃面积至少为800米 根据函数图像可得

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∴总造价y y1 y2 35x 20000 40 60 40 x 5x 116000

在一次函数y 5x 116000中，y随x的增大而减小

∴当800 x 2016时，ymin 5 2016 116000 105920 答：略

考点：矩形面积计算；不等式组；一元二次方程；一次函数的实际应用。（初二上-矩形，初一下-不等式/组，初三上-一元二次方程，初二下-一次函数）

【海壁分析】南宁中考数学每年都会有一道与实际结合的应用题，今年跟2013年（含图象的一次函数及不等式）有类似，相较2014年（二元一次方程组和不等式组）今年的题目略显难度。比较南宁市2010年（二元一次方程组和不等式），2011年（反比例函数和不等式），2012年（反比例函数和分式方程），海壁认为，单数年喜欢考函数类，双数年喜欢考方程类，所以，2016年或许又会考回列方程类的应用题。

七、（本大题满分10分）

= 25．如图14，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且AC CG，过点C的直线CD BG于点D，交BA的延

长线于点E，连接BC，交OD于点F. （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若OF＝

FD

2

,求 E的度数； 3

图14

（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD=3，求AD的长. 答案：

(1)证明：连结OC ∵OC=OB

∴∠OCB=∠OBC ∵AC=CG ∴∠DBC=∠OBC ∴∠DBC=∠OCB ∴OC∥BD

∴∠ECO=∠EDB=90°

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∴CD是⊙O的切线

（2）∵OC∥BD

∴∠OCB=∠DBC ∠COD=∠ODB ∴△COF∽△BDF(AA) ∴

OCOF2

BDFD3

∵OC∥BD

∴∠COA=∠DBE ∠E=∠E ∴△COE∽△DBE(AA)

OCEOEA AOEA AO2

BDEBEA AO OBEA 2AO3∴EA AO

∴

又∵AO=CO=BO ∴EO=EA+AO=2CO

在Rt△OCE中，∠OCE=90° EO=2CO

∴∠E=30°

(3)过点D作DH⊥AB于H

∵△OEC∽△DBE

ECEO2

EDEB3

∴ED 又∵∠E=30° ∴BD

DE

3 EB 2BD 6

tan30

∴EA AO OB OC

2

DH

ED BD3 EB6

在Rt△DBH中, BD 3

DH ∴BH

52

3 2

BH AH AB

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在Rt△DHA中, AH

5

DH

2∴

考点：勾股定理、圆、相似三角形、三角函数。（初二下-勾股定理；初三上-圆；初三下-三角函数；初三下-相似）

【海壁分析】今年圆的综合不算难，常规题型，海壁初三的同学分分钟搞得定。 第一小题考查常见的切线证明，只要连结半径CO证明CO∥BD就能得到CO⊥ED；

第二小题主要运用相似模型里的A型，证明EA=AO，从而得到在Rt△COE中EO=2CO的特殊边角关系，进而求得∠E的大小。

第三小题主要是相似三角形性质的应用及解直角三角形，关键是根据（2）的条件求得ED的大小，剩下的就是解直角三角形了。

八、（本小题满分10分）

26．在平面直角坐标系中，已知A、B是抛物线y ax(a 0)上两个不同的点，其中A在第二象限，B在

第一象限.

（1）如图15-1所示，当直线AB与x轴平行， AOB=90°，且AB=2时，求此抛物线的解析式和A、B两点的横坐标的乘积.

（2）如图15-2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行， AOB仍为90°时，A、B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

（3）在（2）的条件下，若直线y 2x 2分别交直线AB，y轴于点P、C，直线AB交y轴于点D，且

2

BPC= OCP，求点P的坐标.

图15-1

图15-2

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答案：

（1）解：设AB于y轴交于点H

∵AB∥x轴，且抛物线y ax2的对称轴为x 0

∴AH=BH 且AB⊥OH ∵OH=OH ∴△AOH ≌△BOH

180 ∴ OAH OBH

90

2

45 ∵AB=2 ∴AH=BH=OH=1

∴B(1，1) A(-1，1)

xa xb 1

将B(1，1)代入y ax2得a 1 ∴抛物线的解析式为y x2

（2） A 、B两点的横坐标的乘积为常数，且xa xb 1

证明：设A点坐标为 xa,ya ，B点坐标为 xb,yb 则直线OA的解析式为y yaxx，直线OB的解析式为y ybx axb

∵ AOB 90

∴kOA kOB 1 ∴

ya yb

xx 1 a b

又∵y2 y2

a xab xb

2 ∴y2

a ybx x xa xb

x xa xb -1

abxab

（3） 解： 设直线AB 的解析式为y kx b，直线PC与x轴交于F

易知C点坐标为（0，-2），F点的坐标为（-1,0） ∴OC=2 OF=1

FC

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∵直线AB与抛物线y x2交于A、B两点 ∴

y kx b y x

2

2

∴x kx b 0 ∵xa xb 1 ∴ b 1 ∴b 1

∴D点坐标为（0，1） ∴CD=3

作DQ⊥PC于点Q则△DQC∽△FOC

∴DQ:QC:DC 1:

∴DQ

QC

PC 设P点坐标为 a, 2a 2 则

PC

∴PC ∴a

12 5

14 5

∴ 2

a 2

∴P点的坐标为

考点：全等三角形；勾股定理；相似；一次函数；二次函数；一元二次方程（韦达定理）。（ 初二上-全等三角形；初二下-勾股定理；初二下-一次函数；初三上-二次函数；初三上-一元二次方程；初三下-相似） 【海壁分析】还是延续南宁市一贯的出题风格，今年压轴题仍然是二次函数的综合。

第一小题还是求解析式，较于一般的求法有点不一样，需要先用三角形全等求出两个点的坐标代入求得，充分体现了“数形”结合的思想。

第二小题一改以前喜欢考的最值问题，充分利用两条互相垂直直线斜率的乘积为-1这个性质，先表示直线

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OA,OB的解析式，再由A,B两点在也抛物线上得到坐标对等关系y x2，代入斜率乘积为-1的式子化简即可证明。海壁初三的同学对垂直直线斜率：k1·k2=-1这一性质运用自如，相信这道题一定是so easy！ 第三小题估计能拿满分的同学不多。首先用AB解析式与抛物线联立方程组后根据第二小问的结论可得D点坐标，进而求得CD长度，再根据相似比求出PC的实际长度，用AB的解析式表示P点坐标后根据两点间距离公式

可得PC长度的代数式，联立后即可求得P点坐标。

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