高等数学(同济大学第五版)第十二章(13)

高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

所以特解为

tanxy=e.

(4)cos ydx+(1+e x)sin ydy=0, y|x=0= 解 分离变量得

xsinyedy=dx,

cosy1+eπ;

4

两边积分得

xsinyedy=∫dx, ∫cosy1+ex

即 ln|cos y|=ln(ex+1)+ln |C|,

或 cos y=C(ex+1).

π, π 由y|x=0=得cos=C(e+1), C=

444

所以特解为cosy=

(ex+1). 4

(5)xdy+2ydx=0, y|x=2=1. 解 分离变量得

1dy= 2dx, yx1dy= 2dx, ∫y∫x

两边积分得

即 ln y= 2ln x+ln C,

或 y=Cx 2.

由y|x=2=1得C 2 2=1, C=4, 所以特解为y=

4. x2

3. 有一盛满了水的圆锥形漏漏斗, 高为10cm, 顶角为60°, 漏斗下面有面积为0. 5cm2的孔, 求水面高度变化的规律及流完所需的时间.

解 设t时该已流出的水的体积为V, 高度为x, 则由水力学有

dV=0.62×0.5×2×980)x, 即dV=0.62×0.5×2×980)xdt. dt

,

又因为r=xtan30°=