高等数学(同济大学第五版)第十二章(6)

高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

∞n

xxn n1+ =a0∑+am+1x+(m+1)!am+1∑n=0n!n=m+2n!∞nn

xx =a0∑+(m+1)!am+1∑ n!n!n=0n=m+1mnnxxx =a0∑+(m+1)!am+1(e ∑ n=0n!n=0n!n

x =(m+1)!am+1e+[a0 (m+1)!am+1]∑, n!n=0

x

m

mm

m

即原方程的通解为 y=C1e+C2 (4)(1 x)y′=x2 y; 解 设方程的解为y=

∞x

xn(其中C, C为任意常数).

12∑n!n=0

m

anxn, 代入方程得 ∑n=0

2

∞

(1 x)

nanx∑n=1

n 1

=x ∑anxn,

n=0

2

∞

即 a1+a0+2a2x+(3a3 a2 1)x+

[(n+1)an+1 nan+an]xn=0. ∑n=3

∞

可见 a1+a0=0, 2a2=0, 3a3 a2 1=0, (n+1)an+1 (n 1)an=0(n≥3), 于是 a1= a0, a2=0, a3=因此原方程的通解为

∞

12xn(C=a为任意常数). . 3 y=C(1 x)+x+∑03( 1)nnn=4

1, a=n 2a=2(n≥4).

n3nn 1n(n 1)

(5)(x+1)y′=x2 2x+y. 解 设方程的解为y=

anxn, 代入方程得 ∑n=0

∞