高等数学(同济大学第五版)第十二章(5)

高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

即 a0+2a2+

[(n+2)(n+1)an+2+(n+1)an]xn=0, ∑n=1

∞

( 1)k 1( 1)k11a,a=a, . 于是 a2= a0,a3= a1, ,a2k 1=23(2k 1)!!12k(2k)!!0

( 1)ka2k( 1)ka2k+1

所以 y=a0+a1x+∑x+x]

(2k+1)!!k=1(2k)!!

∞

∞2( 1)k 12k 1x1k =a0∑( +a1∑ x(2 1)!!kk!!2k=0k=1

∞

x

=a0e2

2

( 1)k 12k 1

+a1∑x,

(2k 1)!!k=1

2

∞

即原方程的通解为

x

y=C1e2

( 1)k 12k 1

+C2∑x.

(2k 1)!!k=1

∞

∞

(3)xy′′ (x+m)y′+my=0(m为自然数); 解 设方程的解为y=

∞

anxn, 代入方程得 ∑n=0

(x+m)∑nanx

n=1∞

n 1

x

n(n 1)anx∑n=2

∞

n 2

+m∑anxn=0,

n=0

∞

即 m(a0 a1)+

[(n+1)(n m)an+1 (n m)an]xn=0. ∑n=1

可见 (a0 a1)m=0, (n m)[(n+1)an+1 an]=0 (n≠m), 于是 a0=a1,an=

m

am+1

(n≥m+2),an=1a1 (n≤m).

n(n 1) (m+2)n!

∞ana+m1所以 y=a0+∑x+am+1x+∑xn n=1n!n=m+2n(n 1) (m+2)