大学物理下答案(6)

解：（1）电荷线密度λ=

q

，坐标如图(a)所示，距原点O为x处取电荷元dq=λdx，它2l

在a点的电势du=a点的总电势

1λ

dx4πε.0(r x)

u=∫du=∫

1λdx l4πεr x0

l

=

λr+lln4πε

0r lqr+lln8πε0lr l

=

（2）坐标图(b)所示，电荷元dq=λdx在Q点的电势

du=

Q点的总电势

14πε0

λdxa2+x2

1

u=∫du=2∫04πε0

lλ1+l2+a2

=ln222πε0ra+xλdx

ql+l2+r2

=ln4πε0r

2.图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为ρ，球层内表面半径为R1，外表面半径为

R2。设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。

解：

空腔内任一点的电势：

U=∫E dl=∫E1 dr+∫E2 dr+∫E3 dr

∞

∞

rR2R1r

R2R1

E1 dS=

q1ε0

又：q1=ρ πR2 R1

43

(

33

)

3ρ(R2 R13)所以，E1=

3ε0r2

同理：E2 dS=

q2ε0

4

q2=ρ π(r3 R13)3

得到，E2=

ρ(r3 R13)3ε0r2

在球壳的内部，没有电电荷，所以，E3=0

3

ρ(R2 R13)ρ

综上，U=+

2R2ε03ε0

12R1332

2R2+R 2R1 +0

2

即：

U=

ρ2

(R2 R12)2ε0

3.点电荷+Q处于导体球壳的中心，壳的内外半径分别为R1和R2，求电场强度分布和电势

分布。

静电平衡时，导体球壳内、外表面均有感应电荷，由于带电系统具有球对称性，所以内表面均匀分布有-q电荷，外表面均匀分布+q电荷，可判断电场分布具有球对称性，以任意半径r作一与球壳同心的高斯球面S，由高斯定理可得

Σqi2E dS=4πrE=ε0

E=

Σqi

4πε0r2

当r<R1Σqi=q∴E1=

q4πε0r2

∴

R1<r<R2r≥R2

Σqi=+q q=0Σqi=q

∴

E2=0q4πε0r2

E3=

由电势定义式可求得电势分布