专题：构造全等三角形方法总结(3)

∠A＝∠3（已证）

∴∠A+ ∠C＝180°（等量代换）

法四：作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延长线于N。 ∵ BD是∠ABC的角平分线（已知） DN⊥BA，DM⊥BC（已知）

∴ ND=MD（角平分线上的点到这个角的两边距离相等） ∵ DN⊥BA，DM⊥BC（已知） ∴△NAD和△MCD是Rt△ 在Rt△NAD和Rt△MCD中 ∵ ND=MD （已证）

AD=CD（已知）∴Rt△NAD≌Rt△MCD（H.L） ∴ ∠4=∠C

（全等三角形的对应角相等） ∵ ∠3+ ∠4＝180°（平角定义） ∠A＝∠3（已证） ∴∠A+ ∠C＝180°（等量代换）

3、在△ABC中，AD⊥BC，若∠C＝2∠B．试比较线段BD与AC+CD的大小．

简析 由于AD⊥BC，所以可在BD上截取DE＝DC， 于是可得△ADE≌△ADC（SAS），所以AE＝AC，∠AED＝∠C， 又∠C＝2∠B，所以∠AED＝2∠B，而∠AED＝∠B+∠BAE，

B 即∠B＝∠BAE，所以BE＝AE＝AC，所以BD＝BE+DE＝AE+DE＝AC+CD． E D

说明 利用三角形高的性质，在几何解题时，可以高线为对称轴构造全等三角形求解．

4、设点P为等边三角形ABC内任一点，试比较线段PA与PB+PC的大小．

简析 由于△ABC是等边三角形，所以可以将△ABP绕点A旋转60°到△ACP′的位置，连结PP′，则△ACP′≌△ABP（SAS），所以AP′＝AP，CP′＝BP，△APP′是等边三角形，即PP′＝PA，在△CPP′中，因为PP′＜PC+P′C，所以PA＜PB+PC．

说明 由于图形旋转的前后，只是位置发生了变化，而形状和大小都没有改变，所以对于等边三角形、正方形等特殊的图形我们可以利用旋转的方法构造全等三角形来解题．

P′

B

图4

C