专题：构造全等三角形方法总结(4)

5、△ABC中，AB＝AC，E是AB上任意一点，延长AC到F，连接EF交BC于M，且EM＝FM试说明线段BE与CF相等的理由．

简析 由于BE与CF的位置较散，故可考虑将线段CF平移到ED，所以过点E作 ED∥CF，则∠EDB＝∠ACB，∠EDM＝∠FCM，由于EM＝FM，∠EMD＝∠FMC，所以△EMD≌△FMC（AAS），所以ED＝CF，又因为AB＝AC，所以∠B＝∠ACB，即∠B＝∠EDB，所以EB＝ED，所以BE＝CF．

说明 这里通过辅助线将较散的结论相对集中，使求解的难度降低．

B

D 图

5

1、如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B 法一：证明：在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。 ∵ AD是∠BAC的角平分线（已知） ∴∠1=∠2（角平分线定义） 在△AED和△ACD中 ∵ AE=AC（已知） ∠1=∠2（已证） AD=AD（公共边） ∴△AED≌△ACD（S.A.S）

∴ ∠C＝∠3（全等三角形的对应角相等) ED=CD（全等三角形的对应边相等） 又∵ AB=AC+CD=AE+EB（已知） ∴EB=DC=ED（等量代换）

∴∠B=∠4（等边对等角）

∵ ∠3= ∠ B+∠4= 2∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和） ∴∠C=2∠B（等量代换）

法二：延长AC到F，使CF=CD，连结DF。 ∵ AD是∠BAC的角平分线（已知） ∴∠1=∠2（角平分线定义） ∵ AB=AC+CD，CF=CD（已知）

∴ AB=AC+CF=AF（等量代换） 在△ABD和△AFD中

∵ AB=AF（已证） ∠1=∠2（已证） AD=AD（公共边）