基于最优窗Burg算法的电力系统间谐波谱估计_李明(3)

第26卷第1期

李 明等 基于最优窗Burg算法的电力系统间谐波谱估计 179

em/ am(m)=0，可求得

式（13）可表示为

a1(1)=cosω+θsinω≈cos(ω θ)

2

am(m)=

Nmn=1

N mn1

∑wm(n)fm 1(n+1)bm 1(n)

2

2

+bm 1(n)

θ 1 （14）

式中

sinω

fn+1)∑wm(n) m 1(

（10）

由式（10）可见，|am(m)|＜1，因此，加窗Burg算法可以得到一个稳定的AR模型

[18]

θ=

∑w1(n)cos(2ωn+ω+2 )

n1

N1n=1

N 1

（15）

1+cosω

∑w1(n)cos(2ωn+ω+2 )

。将am(m)代入

式（3）中，可求出AR模型的m阶解am(i)。根据所求得的am(i)和预测误差em可进一步求得信号的功率谱密度

P(ω)=

+

em

2

由式（14）可知，由于存在θ 项，从而使数字频率ω 偏离其实际值，导致谱峰偏移现象。由式（15）可知，误差项θ 的大小与信号初始相位 密切相关。可通过加合适的窗函数w1(n)来减小误差项

∑

i=1

m

（11）

θ 的影响。首先令频率误差Δf=θ/2π，可得平均频率误差的方差为

var(Δf)=

=1

π

am(i)e jωi

由于数字频率ω为连续函数，需要对其进行数字离散化。将式（11）转化为

P(kΔω)=

+

em

2

∫0var(Δf)dω

N 1N 1n=1l=1

π

w(n)w1(l) δn l δ1 n+l δ1+n l 3∑∑1

448π 2

1 111

∑

i=1

m

（12）

（16）

式中，δ 为脉冲函数。为了尽量减小由θ 项引起的误差，需使平均频率误差方差〈var(Δf)〉最小，可求得一阶最优窗

w1(n)=

NN+1N+26n+1N nam(i)e jkΔωi

数字频率间隔Δω 可以根据需要设定，Δω 越小，频率估计精度越高，同时计算量也越大。为了兼顾频率估计精度和计算复杂度，本文假定Δω为π/fs，则模拟频率间隔为0.5Hz。在式（12）所对应的功率谱图上，各峰值处所对应的频率即为各次谐波和间谐波的频率。在此基础上，可用非线性最小二乘法进一步求取各次谐波和间谐波的幅值和相位信息，推导过程详见文献[8]。

（17）

同理，可求得m阶最优窗

wm(n)=

N m+1N m+2N m+36(n+1)(N m n+1)

（18）

最优窗的具体推导见文献[16]。

为了减少运算量，可将式（18）转化为如下递推形式：

3 误差分析和最优窗的推导

由式（1）可知，间谐波信号可以看作多个正弦波和噪声叠加之和。为简单分析起见，只选取其中一个正弦波x(n)=Aisin(2πfin/fs+ i)，令Ai=1，

wm(n)=2wm(n 1) wm(n 2) λ （19）

式中

ω=2πfi/fs， = i π/2，则x(n)=cos(ωn+ )。由于前、后向预测误差的初值均为x(n)，将其代入到式（10），可得一阶系数[16]

λ=

12

N m+1N m+2N m+3由式（18）可以看出，窗函数wm(n)只与信号

2

sinω

a1(1)=cosω+

∑

N 1

1+cosω

n1w1(n)cos(2ωn+ω+2 )

w1(n)cos(2ωn+ω+2 )

（13）

长度N和阶数m相关，而与信号的频率、幅值和相位无关。故用该窗分析式（1）中的任意次谐波和间谐波时，均可有效减少由误差项θ 引起的频率偏差，从而减少间谐波信号的谱峰偏移，并可有效抑制谱线分裂。

∑

n=1