曲线与方程优秀教学设计(5)

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6（3）方程F （x ，y ）=f 1（x ，y ）…f n （x ，y ）=0的曲线是在其（x ，y ）的共同取值范围内的f 1（x ，y ）=0，f 2（x ，y ）=0，…，f n （x ，y ）=0的曲线的全体。

（4）方程f1（x ，y ）=λf 2（x ，y ）（λ为任意常数）或λf 1（x ，y ）+μf 2（x ，y ）=0（λ，μ为常数且λ2+μ2≠0）的曲线必过两曲线f 1（x ，y ）=0，f 2（x ，y ）=0的所有交点。

这些推论的证明方法类似，给学生介绍一下（2）的证明，其余由学生自己课后完成。证明：设曲线

的任一点为P 1（x 1，y 1），则y 1=f （x 1），y 1=φ（x 1）∴f （x 1）=φ（x 1），故x 1是方程f （x ）=φ（x ）的根。反过来，如果f （x ）=φ（x ）的任一实根为x0，则f （x0）=φ（x0）。令f （x0）=y0，则φ（x0）=y0，故（x0，y0）为两曲线y=f （x ），y=φ（x ）的交点。

这一推论是利用函数图像求方程近似解的理论根据，同时也是考查学生是否理解曲线的方程、方程的曲线这一重要结论的好材料。

七、小结全课

本次课我们通过对实例的研究，掌握了“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义。在领会定义时，要牢记关系（1）、（2）两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件。两者满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性。只有符合关系（1）、（2），才能将曲线的研究转化为方程来研究，即几何问题的研究转化为代数问题。这种“以数论形”的思想是解析几何的基本思想和基本方法。

【作业布置】

1．点A （1，-2）、B （2，-3）、C （3，10）是否在方程x 2-xy+2y+1=0的图形上？

2．（1）在什么情况下，方程y=ax 2+bx+c 的曲线经过原点？

（2）在什么情况下，方程（x-a ）2+（y-b ）2=r2的曲线经过原点？

3．证明以C （a ，b ）为圆心，R 为半径的圆的方程为（x-a ）2+（y-b ）2=R 2．

4．证明动点P （x ，y ）到定点M （-a ，0）的距离等于a （a ＞0）的轨迹方程是

x 2+y 2+2ax=0.