35a数学分析大二第一学期考题(2)

z f u f v z f u f v=+，=+. x u x v x y u y v y

故

2z f 2u 2f u f 2v 2f v

=+2 ++2 , 222

u x v x x u x v x 2z f 2u 2f=+222

u y y u 2z f 2u 2f=+ x y u x y u2

即

22

u f 2v 2f y + v y2+ v2

2

v y , v v y , x

2

22

u u f v f y + v x y+ v2

x

2z f 2u 2f

=+222

u x x u =

f 2v 2f u

+2 +2

v x v x

2

2

2

2

v

x

2

f z z f

+2 2x+2 u x x u z f z f z

+2 . zx++ 2 x v x v x

2

22

2

2z f 2u 2f

=+222

u y y u

2

u f 2v 2f

y + v y2+ v2

2

2

2

v y

2

2

=

f z f x2 +2

u y u z f z f

x++2

2 y v y v z

y 1 .

2

2z f 2u 2f

=+ x y u x y u2

22

u u f v f y + v x y+ v2 x v v

y x

z z f 2z f z 2z 2f

= +x x y + v x y + u2 z+x x u y x y +

f z z

1 .2 v x y

2

3 解 由于对称性，只需求出椭球在第一卦限的体积，然后再乘以8即可。

作广义极坐标变换

x=arcosθ, y=brsinθ（a>0, b>0, 0<r<∞, 0≤θ≤2π）。

这时椭球面化为

(arcosθ)2(brsinθ)22 z=c [+]=c r。 22

ab

又

D(x,y)xr

=

D(r,θ)yr

xθyθ

=

acosθbsinθ

arsinθbrcosθ

=abr，