35a数学分析大二第一学期考题(3)

于是

V=

18

σxy

∫∫z(x,y)dσxy=

π

10

σxy

∫∫z(r,θ)

D(x,y)

θ

D(r,θ)

=∫2dθ∫c r2 abrdr=

π

2

abc∫r r2dr

1

=

π

2

abc∫(

1

1

r2)d(1 r2) 2

3

1π2π= abc[(1 r2)21]=abc。 0

2236

所以椭球体积

V=

2

2

4

πabc。 3

x， y

4 解 l的方程为：x+y=1,x≥0。由y′=

x2+y2dx

ds=±+ydx=±=±

yy2

2

符号的选取应保证ds≥0，在圆弧段AC上，由于dx>0，故

ds=

dx

y

而在圆弧段CB上，由于dx<0，故

ds=

dx y

所以 I=

∫y=∫

l

AC

1 dx

y +∫y dx CBy y

=

5 解 I(a)=

∫

1

dx ∫dx=2。

1

∫

π

ln(1 2acosx+a2)dx。当a<1时，由于 1 2acosx+a2≥1 2a+a2=(1 a)2>0，

故ln(1 2acosx+a)为连续函数且具有连续导数，从而可在积分号下求导。

π 2cosx+2a

′ I(a)=∫ dx

01 2acosx+a2

2

1π a2 1=∫ 1+2 0a 1 2acosx+a

dx