35a数学分析大二第一学期考题(4)

1 a2

= aa

π

∫

π

dx

2

(1+a) 2acosx dx

2a 1+ cosx2 1+a

1 a2π

=

aa(1+a2)∫0

π

==

π

a

2 1+ax πarctg tg 0 a 1 a2 2π

=0。 a2

π

a

于是，当a<1时，I(a)=C（常数）。但是，I(0)=0，故C=0，从而I(a)=0。 三 讨论题（每小题10分，共20分）

1 解 设a0为任一不为零的数，不妨设a0>0。取δ>0，使a0 δ>0。下面证明积分I在(a0 δ,a0+δ)内一致收敛。事实上，当a∈(a0 δ,a0+δ)时，由于

0<

且积分

a0+δa

， <2222

1+ax1+(a0 δ)x

a0+δ

1+(a0 δ)2x2

+∞

∫

+∞

收敛，故由Weierstrass判别法知积分

∫

个a≠0处一致收敛。

a

1+a2x2

在(a0 δ,a0+δ)内一致收敛，从而在a0点一致收敛。由a0的任意性知积分I在每一

下面说明积分I在a=0非一致收敛。事实上，对原点的任何邻域( δ,δ)有：

A>0，有

∫

由于

+∞

+∞dta

=a>0)。 222∫aA1+ax1+t

+∞dtπdt

， ==22∫021+t1+t

a→+0aA

lim∫

+∞

故取0<ε<

π

2

，在( δ,δ)中必存在某一个a0>0，使有

|∫

+∞

aA

dt

|>ε， 2

1+t