海塞矩阵在多元函数条件极值中的应用

２００５年１２月安阳工学院学报Ｄｅｅ．２００５第６期（总第１８期）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＡｎｙａｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＮｏ．６（Ｇｅｎ．Ｎｏ．１８）

海塞矩阵在多元函数条件极值中的应用

张丽丽王军民耿向平

（河南财经学院河南郑州４５０００２）

摘要：本文提出了利用海塞矩阵计算多元函数条件极值的一种新方法，并结合几个例子分类讨论这种方法在实际问题中的应用，同时针对一篇已经发表的文章，我们指出了它的问题，并运用本文所列方法，给出了正确的解法。

关键词：海塞矩阵；多元函数；条件极值；稳定点

中图分类号：０１７５．２７文献标识码：Ａ文章编号：１６７３—２９２８（２００５）０６—００７９—０３

《数学分析》是大多数高校的必开课程，有着十分重要的基础作用，多元函数的极值问题又是这门课程里面非常重要的部分，而且在实践中应用非常广泛，对它的研究就显得十分必要。本文首先介绍多元函数极值问题的一些理论，然后分类讨论不同约束条件下的求解方法，这些方法具有一定的普遍性，同时针对一篇已经发表的文章，我们指出了其中一个例子解法中的错误，并采用本文的方法，给出正确的解题方法。

在《数学分析》…教材中，多元函数有如下定义：

设凡元函数Ｙ＝八菇）＝八石，，ｚ：，Ａ，戈。）定义于区域Ｄ中，且点Ｐ０（菇：，名！，Ａ，石：）是这区域内的一点。若在点Ｒ的某邻域内，恒有

尺戈）＜八Ｐ。）（或八戈）＞八Ｐ。））

则称函数，（石）在点Ｐ。处有极大值（或极小值）。

本文若无特殊说明，均假定函数八戈）在点Ｐ０（菇？，ｚ：，Ａ，戈：）的某邻域内连续，且二阶偏导数也连续。下面我们给出稳定点和海塞矩阵的定义。

定义１记珏元函数Ｙ＝火茁）＝苁菇。，戈：，Ａ，并。）的一阶偏导数为

八戈）＝ｆ罢，善，Ａ，罟ｌ（１）

＼Ｏ＇Ｘ１Ｏ＂Ｘ２唧。，

若点Ｐ０使得以Ｐ０）＝（著，差，Ａ，差）Ｉ，。为零向量，则称点Ｐ０为函数以并）的稳定点。

定义２称八菇）为函数以ｚ）的海塞（Ｈｅｓｓｅ）矩阵，若

警最以最Ｏｘ以：缸１砒２—１。Ｏｘ

尸’（戈）＝去砒ｏ＿５；以血ＯＸ２０Ｘｎ觑２觑ｌ砒；（２）以ＡＡ以

蠡最Ｏｘ以舞巩。缸１砒。２一缸：

易见，在本文的假设条件下，海塞矩阵是一个对称矩阵。

下面的两个定理是我们在计算多元函数的极值问题时经常用到的。

定理１设函数八戈）在点Ｐ０具有偏导数，且在点Ｐ０处有极值，则点Ｐｏ必为函数八戈）的稳定点。

定理２设函数八菇）在点Ｐｏ的某邻域内连续，且一阶及二阶偏导数也连续，则

（１）稳定点Ｐ０是极小值点的充分条件是海塞矩降尸’（Ｐ０）为正定矩阵；

（２）稳定点Ｐ０是极大值点的充分条件是海塞矩阵．尸’（Ｐ。）为负定矩阵；

（３）稳定点Ｐｏ不是极值点的充分条件是海塞矩阵厂’（Ｐ。）为不定矩阵。

接下来，我们根据约束条件的不同，分两种情况来计算多元函数的极值。

１无约束情况

十收稿日期：２００５一１２—２０

作者简介：张丽丽（１９７８一），女，河南偃师人，河南财经学院讲师，主要从事数值计算方向的研究。

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