海塞矩阵在多元函数条件极值中的应用(3)

容易计算出它的稳定点为：（軎，万８，丙１３，击），且Ａ＝一而１５，ｒ＝一可５。

为了判断稳定点是否为极值点，把条件），２＿Ｘ３＝０和菇一ｙ一万１９＝ｏ分别看作隐函数，，＝ｙ（戈）和口＝移（Ｍ），且把目标函数ｄ：：（ｘ—Ｍ）：＋（ｙ（戈）一秽（配））ｚ全Ｆ（石，ｕ）看作ｄｚ：（戈一配）ｚ＋（，，（石）一秽（“））ｚ与ｙ：ｙ（菇）、＂＝移（Ｕ）的复合函数。

将广一ｚ３＝ｏ两边同时对戈求导，得

，，

２ｙ老屯２＝ｏ，即笔＝券 １。

将２ｙ耋一３戈２＝ｏ两边同时对菇求导，得

２ｃ塞）２＋２ｙ磐七一ｏ，即辔ｄｘ：６１Ｘ－产２＠２：詈。

将Ｍ一口一暑＝ｏ两边同时对配求导，得１０

一，即譬，从而等。ｕａｕｄｕ。

故警＝２（戈一Ｍ）＋２（），一秽）塞，面ＯＦ＝一２（ｘ二“）一２（ｙ一秽）毫，

万０２Ｆ＝２＋２（笔）２＋２（ｙ一秽）磐＝３ｉ７，赢ｇ五Ｆ＝一２—２老 象＝一４，

孑０２Ｆ＝２＋２（老）２一，（ｙ－ｖ）ｄｄ“２－－ｖ一－ｖ＝４，塞＝一２—２窆 瓦ｄｖ＝一４。

从而在稳定点‘歹４，芴８，丙１３，刍）处，海塞矩阵为

押一舻打蕊：｜－詈押蕊押一抒ｌ一４一４］４ｊ

这是一个正定矩阵，根据定理２，稳定点‘歹４，芴８，西１３，击）是函数的极小值点。又因为极小值点唯一，故此极小值点就是所求的最小值点，从而曲线上的点（鲁，隽）和直线上的点‘西１３，面１）即为所求。

多元函数的极值的计算，由于约束条件的不同，呈现的结果比较丰富，本文只是研究了其中的一部分，而对于约束条件为不等式或者为方程组的情形，限于篇幅，另文祥述。

参考文献：

［１］华东师范大学数学系．数学分析（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００４．

［２］杨文杰，孙静．多元函数的极值问题［Ｊ］．辽宁工学院学报Ｖ２４（１），２００４，２７—３０．

ＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＨｅｓｓｅＭａｔｒｉｃｅｓｉｎＣｏｎｄｉｔｉｏｎＥｘｔｒｅｍｅＶａｌｕｅ

ｆｏｒＭｕｈｉｖａｒｉａｔｅＦｕｎｃｔｉｏｎ

ＺＨＡＮＧＬｉ一１ｉＷＡＮＧＪｕｎ—ｍｉｎＧＥＮＧＸｉａｎｇ—ｐｉｎｇ

（ＨｅｎａｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＦｉｎａｎｃｅａｎｄＥｃｏｎｏｍｉｃｓ。Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ４５０００２，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅ，ａｎｅｗｍｅｔｈｏｄｏｆｓｏｌｖｉｎｇｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｘｔｒｅｍｕｍｆｏｒｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅｆｕｎｃｔｉｏｎｂａｓｅｄｏｎＨｅｓｓｅＭａｔｒｉｃｅｓｉｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄ，ａｎｄｓｏｍｅｅｘａｍｐｌｅｓａｒｅｇｉｖｅｎｔｏｐｒｏｂｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｍｅｔｈｏｄｔｏｐｒａｃｔｉｃａｌｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｍｅａｎｗｈｉｌｅ．ａｇａｉｎｓｔｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｉｎａｐｕｂｌｉｓｈｅｄａｒｔｉｃｌｅ，ａｃｏｒｒｅｃｔｓｏｌｕｔｉｏｎｉｓｓｈｏｗｅｄｂｙｅｍｐｌｏｙｉｎｇｔｈｅｍｅｔｈｏｄｓｌｉｓｔｅｄｉｎｔｈｅａｒｔｉｃｌｅ．

ＫｅｙＷｏｒｄｓ：Ｈｅｓｓｅｍａｔｒｉｃｅｓ；ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｘｔｒｅｍｅｖａｌｕｅ；ｓｔａｂｌｅｐｏｉｎｔ

（责任编辑郝安林）

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万　方数据