海塞矩阵在多元函数条件极值中的应用(2)

例１求以石，Ｙ，ｚ）＝戈２—２ｘｙ＋２ｙ２＋Ｚ２一ｙｚ＋菇＋３ｙ—ｚ的极值。

解直接计算得到它的稳定点为（一百１７，了７，丁２）。

经计算知道函数在稳定点（一百１７，了７，丁２）处的海塞矩阵为立立立．．．．．‘．－－－－－－－Ｊ－Ｌ．．．．．．．．ＩＬ

缸２

立盥立

立立立砚抵０３，２ｍａｚ觑砂巩出ｒ２—２４＝ｆ一２

１＿０．．１

这是一个正定矩阵，根据定理２，稳定点（一百１７，了７，了２）是函数的极小值点，相应的极小值为八一百１７，了７，２、５５

了，２一西。

２约束条件为等式的条件极值

求多元函数的条件极值时，通过构造拉格朗日函数可求得稳定点，但如何判断稳定点是否为极值点，在参考文献［１］中没有给出具体的方法，往往是根据问题的实际情况直接推断稳定点即为极值点。本文通过目标函数和约束条件构成的复合函数求得海塞矩阵，根据海塞矩阵的正负定性应用定理２来判断稳定点是否为极值点。这种方法适用于三元及三元以上函数的条件极值。

例２求ｕ＝戈＋Ｙ＋ｚ＋ｔ在条件ｘｙｚｔ＝ａ４（髫，ｙ，ｚ，ｔ，ａ＞０）下的极值。

解构造拉格朗１３函数

八菇，Ｙ，ｚ，ｔ）＝石＋Ｙ＋ｚ＋ｔ＋Ａ（ｘｙｚｔ—ａ４）

经计算知道它的稳定点为（ｏ，口，ｏ，ａ），且Ａ＝一去。

为了判断稳定点是否为极值点，把条件ｘｙｚｔ＝０４看作隐函数ｔ＝ｔ（ｘ，），，ｚ），且把目标函数“＝ｚ＋Ｙ＋ｚ＋ｔ（菇，），，ｚ）＝Ｆ（茗，ｙ，ｚ）看作Ｍ＝并＋Ｙ＋ｚ＋ｔ与ｔ＝ｔ（ｘ，ｙ，ｚ）的复合函数。

将ｘｙｚｔ（ｘ，Ｙ，孑）＝口４两边同时对舅求导，得

ｙｚｔ＋ｘｙｚｉＯｔ：０，即罢＝一上。

同理可求得譬：一一ｔ，譬：一一ｔ。ａｙＹ吁ｏ

一

驭瓦＿１＋夏－１一ｉ，万２７一ｉ。磊２一ｘ２，丽２一ｉ。万２石’一０ｘｏｚ２一ｉ。瓦２西。１１“ａＦ０ｔｔ荸Ｆｔ１ａｔ２ｔ孑Ｆ１０ｔｔ０２Ｆ１０ｔｔ

同理可求得其余的二阶偏导数。从而在稳定点（ａ，口，口，口）处，海塞矩阵为

矿Ｆａ２Ｆａ２Ｆ１１

口砒２觑砂０ｘｏｚ

矿Ｆ矿Ｆａ２Ｆ

铆融时

ａ２Ｆ矿Ｆ动ａｚ矿Ｆ

０２０ｘ蜘，，０２２

这是一个正定矩阵，所以稳定点（ａ，ａ，ａ，ａ）是函数的极小值点，相应的极小值为配（ａ，口，ａ，ａ）＝４ａ。＝匡

‘，口２口１ｏ１口２口例３Ⅲ求曲线ｙ２一髫３＝ｏ（菇＞ｏ，Ｙ＞ｏ）与直线髫一Ｙ一署＝ｏ之间距离最短的两点位置。在参考文献［２］中，作者直接对拉格朗１３函数应用定理２来判断稳定点是否是极值点，我们发现这样做是错误的，应该对目标函数和约束条件构成的复合函数应用定理２来判断稳定点是否为极值点。下面是我们提供的正确解法：解设曲线ｙ２一髫３＝ｏ上的点为（算，Ｙ），直线戈一Ｙ一署＝０上的点为（ｕ，秽），则两点问的距离为ｄ＝

√（菇一ｕ）２＋（Ｙ一秽）２，即求ｄ２＝（菇一配）２＋（Ｙ～秽）２（ｄ＞ｏ）的最／Ｊ、值。

构造拉格朗１３函数

八ｚ，Ｙ，Ｍ，秽）＝（戈一ｕ）２＋（Ｙ一秽）２＋Ａ（Ｙ２一石３）＋丁（茗一Ｙ一署）．８０

万方数据