均值不等式的证明方法(3)

均值不等式的证明方法

其实由均值不等式，以及函数f(x) ln因此

e 1e 1

x

x

是在R上单调递减

RSTUV

(

RSTUV 1RSTUV 1

)

n

我们要证明：

n

(rstuv

i 1

iii

i

risitiuivi 1

i

1

)

证明以下引理：

n

(x

i 1

xi 1

i

x2 1x2 1

n

1

)

n 2时， (令A

x1 1x1 1

)(

2

) 2

A(x1x2 1 x1 x2) (x1 x2 1 x1x2)

2

2A(x1x2 x1 x2 1) A(x1x2 1 x1 x2) (1 x1x2 x1 x2) 2A(x1x2 1 x1 x2)

(A 1)(x1x2 1) 2A(x1x2 1)显然成立

2 n

n

n

2

因

此 (

i 1

xi 1xi 1

2

n

) (

G 1G 1

)

2 n

n

(

GGGG

n

n

2

n

n

1 1

2 n2

n

)，G

2

n

(

G 1G 1

n

)

因此 (

i 1

xi 1xi 1

n

)