均值不等式的证明方法(4)

均值不等式的证明方法

所以原题目也证毕了

这种归纳法威力十分强大，用同样方法可以证明Jensen:

f(x1) f(x2)

2

f(

x1 x2

2

)，则四维：

f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) 2f(

x1 x2

2

) 2f(

x3 x4

2

) 4f(

x1 x2 x3 x4

4

)

一直进行n次有

f(x1) f(x2) ... f(x2n)

2

n

f(

x1 x2 ... x2n

2

n

),

令x1 x1,...,xn xn;xn 1 xn 2 ... x2

n

x1 x2 ... xn

n

n

A

有

f(x1) ... f(xn) (2 n)f(A)

2

n

n

f(

nA (2 n)A

2

n

) f(A)

所以得到

f(x1) f(x2) ... f(xn)

n

f(

x1 x2 ... xn

n

)

所以基本上用Jensen证明的题目都可以用柯西的这个方法来证明

而且有些时候这种归纳法比Jensen的限制更少

其实从上面的看到，对于形式相同的不等式，都可以运用归纳法证明

这也是一般来说能够运用归纳法的最基本条件