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江苏省高等数学竞赛试题汇总(5)

发布时间:2021-06-08   来源:未知    
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. . .. . .

.. .专业 . . 5. 设由y z x ze +=确定(,)z z x y =,则(),0e dz =

6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件 时,()1,0f -为其极大值.

7.设Γ是sin (0)y a x a =>上从点()0,0到(),0π的一段曲线,a = 时,曲线积分()()

2

22y x y dx xy e dy Γ+++⎰取最大值. 8.级数(

)

11n n ∞+=-∑条件收敛时,常数p 的取值围是 二.(10分)某人由甲地开汽车出发,沿直线行驶,经2小时到达乙地停止,一路畅通,若开车的最大速度为100公里/小时,求证:该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于200-公里/小时3

三.(10分)曲线Γ的极坐标方程为1cos 02πρθθ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝

⎭,求该曲线在4πθ=所对应的点的切线L 的直角坐标方程,并求切线L 与x 轴围成图形的面积. 四(8分)设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的有界函数,()()1f x f x '-≤, 求证:()()1.,f x x ≤∈-∞+∞

五(12分)本科一级考生做:设锥面22233(0)z x y z =+≥

被平面40x -+=截下的有限部分为∑.(1)求曲面∑的面积;(2)用薄铁片制作∑

的模型,(2,0,(A B -为∑上的两点,O 为原点,将∑沿线段OB 剪开并展成平面图形D ,以OA 方向为极坐标轴建立平面极坐标系,写出D 的边界的极坐标方程.

本科二级考生做:设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限部分为∑.为计算曲面∑的面积,用薄铁片制作∑的模型,

()(1,0,5),(1,0,1),1,0,0A B C --为∑上的三点,

将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形

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