江苏省高等数学竞赛试题汇总(7)

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.. .专业 . . 7.交换二次积分的次序()211,x e e x

dx f x y dy -=⎰⎰ . 8.设22:2,02D x x y y x ≤+≤≤≤

，则D

= 二.（8分）设()()2sin 0

ln 10ax b x c x f x x x ⎧++≤⎪=⎨+>⎪⎩，试问,,a b c 为何值时，()f x 在0

x =处一阶导数连续，但二阶导数不存在.

三.（9分）过点()1,5作曲线3:y x Γ=的切线L ，（1）求L 的方程；（2）求Γ与L 所围成平面图形D 的面积；（3）求图形D 的0x ≥部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积.

四（8分）设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的函数，()00f =，()()1f x f x '-≤， 求证：()[)1.0,x f x e x ≤-∈+∞

五（8分）求()120arctan 1x

dx x +⎰

六（9分）本科三级做：设()()()()()()2222tan ,0,0,0,0,0x y x y x y x y

f x y x y -⎧+≠⎪+=⎨⎪=⎩

， 证明(),f x y 在点()0,0处可微，并求()()0,0,df x y

民办本科做：设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限部分为∑.为计算曲面∑的面积，用薄铁片制作∑的模型，()(1,0,5),(1,0,1),1,0,0A B C --为∑上的三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ，建立平面在极坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 坐标为()0,5，写出D 的边界的方程，并求D 的面积. 七（9分）本科一级考生做：用拉格朗日乘数法求函数(

)22,2f x y x y =+在区域2224x y +≤上的最大值与最小值.

八（9分）设D 为,,02y x x y π

===所围成的平面图形，求()cos D

x y dxdy +⎰⎰.