椭圆与双曲线的必背的经典结论(3)

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椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

椭 圆

x2y2

1. 椭圆2 2 1（a＞b＞o）的两个顶点为A1( a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直

ab

x2y2

线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2 2 1.

ab

x2y2

2. 过椭圆2 2 1 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直

ab

b2x0

线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBC 2（常数）.

ay0x2y2

3. 若P为椭圆2 2 1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点,

ab

PF1F2 , PF2F1 ，则

a c

tancot. a c22

x2y2

4. 设椭圆2 2 1（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上

ab

任意一点，在△PF1F2中，记 F1PF2 , PF1F2 , F1F2P ，则有

sin c

e.

sin sin a

x2y2

5. 若椭圆2 2 1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0

ab

＜e

1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y2

6. P为椭圆2 2 1（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，

ab

则2a |AF2| |PA| |PF1| 2a |AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.

(x x0)2(y y0)2

1与直线Ax By C 0有公共点的充要条件是7. 椭圆

a2b2

A2a2 B2b2 (Ax0 By0 C)2.

x2y2

8. 已知椭圆2 2 1（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP OQ.

ab

4a2b2111122

;（1（2）|OP|+|OQ|的最大值为2;（3）S OPQ

a b2|OP|2|OQ|2a2b2