主成分分析法与层次分析法排序公式的研究(2)

438　西安理工大学学报(2005)第21卷第4期　

+T

Rn={x=(x1,x2,…,xn)|xi≥0,x≠0}

其中

2　主成分分析及在系统评估中的应用

2.1　标准化变量的样本主成分的性质[2]

λ设p维随机向量X=(X1,X2,…,Xp)T的观测数据阵为Xn×p。Xn×p的相关阵R的特征值λ1≥2≥…λ≥0,相应的标准正交的特征向量为a1,a2,…,ap,用Y1,Y2,,…,Yp表示样本主成分。其中Yk=aTp≥kX

(k=1,2,…,p),记A=(a1,a2,…,ap),Y=(Y1,Y2,…,Yp),则Y=ATX。

λλ性质1　Y的协方差阵D(Y)=Λ=diag(λ1,2,…,p)。

p

性质2

i=1

λ∑

i

=p

性质3　主成分Yk与标准化变量Xi的相关系数ρ(Yk,Xi)为ρ(Yk,Xi)=其中ak=(a1k,a2k,kaik…,apk)T是R对应于λk的单位正交特征向量,(k,i=1,2,…,p)p

p

性质4性质5

k=1p

ρ(Yk,Xi)=∑

2k=1p

2

λ(i,2,,)kaik∑

ik)i=1

(k=1,2,…,p)kk2.2　,如对某类企业的经济效益进行评估比较,影响企业经济效益的指标有很多,如何更科学、更客观地将一个多指标问题综合为单个指数的形式。主成分分析方

法为样品排序或多指标系统评估提供可行的方法。如果只选一个综合变量来代表原有的原始变量Xj

p

(j=1,2,…,p),最佳的选择便是第一主成分Y1。一方面由主成分的性质5有

i=1

ρ(Y∑

2

1

,Xi)=λ1,知Y1

与原始标准化变量X1,X2,…,Xp的综合相关程度最强;另一方面,由Var(Y1)=λ1知第一主成分Y1对应于数据变异最大的方向。这说明Y1是使数据信息损失最小、精度最高的一维综合变量,因此Y1有可能成为构造系统排序评估指数。然而Y1能否真正成为一个尺度因子,还要看Y1与原变量Xj

(j=1,2,

…,p)的相关情况。如果Y1与所有Xj均正相关,Y1可以成为系统评估排序指数。检验Y1是否与Xj正相关,依据主成分的性质3知ρ(Y1,Xi)=1ai1(i=1,2,…,p)。这里ai1是特征值λ1的特征向量a1的第i个分量,所以检验Y1是否与Xj正相关等价于检验ai1>0,即第一主成分的系数均为正值。

根据代数学中的Perron2Frobenius定理可知下述结论成立。

定理　若协方差矩阵的所有元素均为非负数,则第一主成分的系数均为正数。

假定第一主成分中各变量的系数均为正数,则由正交性一定可以推出其它主成分的系数是有正、负的,于是第一主成分便可解释为尺度因子,而其它被选中的主成分可以解释为不同的形状因子。

3　主成分分析与AHP的注记

(1)主成分分析法和AHP都有坚实的数学基础,由两两比较测度(即判断矩阵)导出排序测度(即排

序权值)常采用特征根法。这与用第一主成分被作为排序评估指数有相同的数学基础———Perron2Frobe2nius定理。

(2)对p个指标n个待评估的样本点v1,v2,…,vn的系统进行排序,如果已知观测数据阵Xn×p,则:①将数据阵标准化(标准化后的数据阵仍记为Xn×p),计算标准化后数据阵Xn×p的协方差阵,这时样本协

T

方差阵就是样本相关阵R;②求R的最大特征值λ;③若l>0,max和相应的特征向量l=(l1,l2,…,lp)令:

T

Y1=Xn×pl=(xij)n×pl=(Y1(1),Y1(2),…,Y1(n))

(1)

由式(1)知:

p

Y1(i)=

j=1

∑x

ij

lj　　　(i=1,2,…,n)(2)