主成分分析法与层次分析法排序公式的研究(3)

　王秋萍等:主成分分析法与层次分析法排序公式的研究　439

然后按Y1(1),Y1(2),…,Y1(n)的大小进行评估。这实际上是用第一主成分作为系统评估指数对系统进行评估。用第一主成分作为系统评估指数对系统进行评估的精度为第一主成分的贡献率λ1/p。

由于社会经济系统许多问题的属性常有相对的性质,因此不可能对这类属性的测度确定一种绝对的标度。例如国家的安全就无法用绝对的标度去衡量,对它的估计只能在比较中确定。这提示我们可以在社会经济系统某些问题的测度上考虑一种相对标度。AHP提供了测度决策因素(尤其是社会经济因素)的基本方式。这种方式充分利用人的经验和判断,采用相对标度形式,能够统一有形与无形、可定量与不可定量的因素进行测度。

对p个指标n个待评估的样本点v1,v2,…,vn的系统进行排序或评估,如果对于指标n个待评估的样本点不能用绝对的标度去衡量,便要采取相对标度,那末AHP法是最好的选择之一。一般地,如果一个系统可以分解为如图1的三个层次:最高层次(目标层)为b,第二层次(准则层)为{x1,x2,…,xp},第三层次(方案层)为{y1,y2,…,yn}。设已得到x对b的排序权值向量为:

T

Wb(x)=(Wb(x1),Wb(x2),…,Wb(xp))

y对xi的权向量写成矩阵:

Wx1(y1)

By=

Wx12Wx2(y1)Wx2yxp(y1p(y2)ω……Wxp(yn)

图1　层次结构图

Fig.1　Hierarchystructure

Wx1(yn)

…

Wx2(yn)

由此可以得到合成排序(层次总排序)为:

T

Wb(y)=ByWb(x)=(Wb(y1),Wb(y2),…,Wb(yn))

(3)

其中Wb(y)=(Wb(y1),Wb(y2),…,Wb(yn))T是y对b的权向量。由式(3)知Wb(y)的分量为:

p

Wb(yi)=

j=1

W∑

xj

(yi)Wb(xj)　　　(i=1,2,…,n)(4)

按Wb(y1),Wb(y2),…,Wb(yn)的大小进行排序。

下面分析采用第一主成分排序与采用AHP排序的结果。将式(2)与式(4)相比较,可知主成分分析

与层次分析的实质是相同的。在系统综合时,主成分分析的排序向量的第i个分量是第i个样本点(或对象)的p个指标观测值xij(j=1,2,…,p)的加权平均,权系数lj(j=1,2,…,p)是第一主成分的系数,这实际上是第i个样本点(或对象)的p个指标在绝对标度下取值的加权平均。而AHP的总排序向量的第i个分量是第i个样本点(或对象)的p个指标在相对标度下取值的加权平均,权系数Wb(xj)(j=1,2,…,p)是指标层x对最高层b的排序权值向量的分量。

由讨论可知,要对一个系统中的样本排序或进行评估,如果在绝对标度下可以得到样本的p个指标的观测值,且系统中的指标正相关,就可采用主成分分析法;如果对系统中样本的属性(或指标)不可能确定一种绝对的标度,如前面提到国家的安全就无法用绝对的标度去衡量,对它的估计只能在比较中确定,采取相对标度,该系统评估时可采用AHP法。使用AHP法需进行一致性检验。

(3)心理学家GAMiller的实验表明,在某种属性上对若干不同物体进行辨别时,普通人能正确辨别

的物体数目在5～9个之间。Miller认为,心理学上的极限应为9[4]。当元素或方案的个数超过9的情况下,利用AHP时应将元素或方案分组,每组的方案不超过9个。当第一次分组之后,编组的个数超过9,再进行上层编组,使得从目标开始向下形成一个递阶树状层次结构。理论上已证明,在方案个数超过9的情况下,采取分组方式以形成递阶层次结构要比不分组的作法更有效。利用主成分分析时指标或方案的个数可以超过9。

(4)层次分析法是解决指标之间的对比量化问题,并不解决指标的选择问题。指标的选取凭借于人的定性判断,而主成分的一个重要用途是用来选取指标,主成分评价所选取的主成分是原来指标的综合,包含了原来指标的大部分信息。这从AHP与PCA两种评价方法本身便可知这一点。